Aufgabe 1639
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form \({x^2} + a \cdot x = 0\) in x mit \(a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie denjenigen Wert für a, für den die gegebene Gleichung die Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\) hat.
Lösungsweg
Die in der Angabe gegebene Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\) bedeutet, dass die Funktion die der Gleichung \({x^2} + a \cdot x = 0\) entspricht, an den Stellen \({x_1} = 0{\text{ und }}{{\text{x}}_2} = \dfrac{6}{7}\) je eine Nullstelle hat.
1. Lösungsmöglichkeit:
Der Wurzelsatz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Variablen p und q auf der einen Seite und den Nullstellen x1 und x2 auf der anderen Seite dar.
\(\eqalign{ & p = - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \cr & q = {x_1} \cdot {x_2} \cr} \)
Durch Einsetzen der beiden Nullstellen erhalten wir:
\(\eqalign{ & p = - \left( {0 + \frac{6}{7}} \right) = - \frac{6}{7} \to a = - \frac{6}{7} \cr & q = 0 \cdot \frac{6}{7} = 0 \cr} \)
→ Für \(a = - \dfrac{6}{7}\) hat die gegebene Gleichung \({x^2} - \dfrac{6}{7} \cdot x = 0\) die Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\)
2. Lösungsmöglichkeit
Bei der gegebenen Gleichung handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die 2 gegebene Lösungen x1=0 und x2=6/7 hat.
Das Spezielle an dieser quadratischen Gleichung ist, dass sie kein konstantes Glied hat. Wir können daher faktorisieren, indem wir x herausheben:
\(\eqalign{ & {x^2} + a \cdot x = 0 \cr & x \cdot \left( {x + a} \right) = 0 \cr} \)
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann null ist, wenn zumindest einer der beiden Faktoren null ist.
Die erste Lösung erhält man wenn den ersten Faktor gleich Null setzt.
\(x = 0 \to 0 = 0\)
Dann besagt die Gleichung dass Null gleich Null ist, was eine triviale Aussage ist und uns auf der Suche nach dem Koeffizienten „a“ nicht weiter bringt.
Die zweite bzw. die eigentlich gesuchte Lösung erhält man, wenn man den zweiten Faktor, also den Klammerausdruck Null setzt:
\(\eqalign{ & \left( {x + a} \right) = 0 \cr & {x_2} = \frac{6}{7} \cr & \left( {\dfrac{6}{7} + a} \right) = 0 \to a = - \dfrac{6}{7} \cr} \)
→ Für \(a = - \dfrac{6}{7}\) hat die gegebene Gleichung \({x^2} - \dfrac{6}{7} \cdot x = 0\) die Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Für \(a = - \dfrac{6}{7}\) hat die gegebene Gleichung \({x^2} - \dfrac{6}{7} \cdot x = 0\) die Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.