Aufgabe 1665
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallele Geraden
Gegeben sind die Parameterdarstellungen zweier Geraden
\(\eqalign{
& g:X = P + t \cdot \overrightarrow u \cr
& h:X = Q + s \cdot \overrightarrow v \cr
& s,t \in {\Bbb R}{\text{ }} \cr} \)
\(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehend angeführten Aussagen sind unter der Voraussetzung, dass die beiden Geraden zueinander parallel, aber nicht identisch sind, stets zutreffend? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(P = Q\)
- Aussage 2: \(P \in h\)
- Aussage 3: \(Q \notin g\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow u = a \cdot \overrightarrow v \) für ein \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Lösungsweg
Bei der gegebenen Darstellungsform der beiden Geraden handelt es sich um die Punkt-Vektorform. Dh jede Gerade ist durch einen Punkt auf der Geraden und einem Vektor gegeben, der in Richtung der Geraden zeigt.
- Aussage 1: Falsch, weil parallele Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben
- Aussage 2: Falsch, weil bei parallelen Geraden der Punkt P von g nicht auch auf der Geraden h liegen kann
- Aussage 3: Richtig, weil bei parallelen Geraden der Punkt Q v0n h nicht auch auf der Geraden g liegen kann
- Aussage 4: Falsch, weil das Orthogonalitätskriterium besagt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren dann Null ist, wenn die Vektoren im rechten Winkel zu einander stehen. Die Richtungsvektoren von parallelen Geraden sind aber parallel und eben nicht rechtwinkelig
- Aussage 5: Richtig, weil das Parallelitätskriterium besagt, dass 2 Vektoren dann zu einander parallel sind, wenn ein Vektor ein Vielfaches („a-fache) vom anderen Vektor ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.