Aufgabe 1739
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Räumliches Sehen
Betrachtet man einen Gegenstand, so schließen die Blickrichtungen der beiden Augen einen Winkel ε ein. In der nachstehend dargestellten Situation hat der Gegenstand G zu den beiden Augen A1 und A2 den gleichen Abstand g. Der Augenabstand wird mit d bezeichnet.
Aufgabenstellung
Geben Sie den Abstand g in Abhängigkeit vom Augenabstand d und vom Winkel ε an. [0 / 1 Punkt]
g =
Lösungsweg
Die Illustration zeigt ein gleichschenkeliges Dreieck, welches aus einem oberen und einem unteren rechtwinkeligen Dreieck besteht. Für die weitere Berechnung betrachten wir nur das obere rechtwinkelige Dreieck:
Wir fassen zusammen:
- Abgesehen vom rechten Winkel kennen wir noch einen 2. Winkel zu \(\dfrac{\varepsilon }{2}\), zu dem wiederum \(\dfrac{d}{2}\) die Gegenkathete ist.
- Die gesuchte Seite g liegt dem rechten Winkel gegenüber und muss daher die Hypotenuse im rechtwinkeligen Dreieck sein.
Im rechtwinkeligen Dreieck beschreibt die Sinus Winkelfunktion den Zusammenhang zwischen Gegenkathete und Hypotenuse:
\(\begin{array}{l} \sin \left( {\dfrac{\varepsilon }{2}} \right) = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Hypotenuse}}}} = \dfrac{{\dfrac{d}{2}}}{g} = \dfrac{d}{{2 \cdot g}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 2} \right.\\ 2 \cdot \sin \left( {\frac{\varepsilon }{2}} \right) = \dfrac{d}{g}\,\,\,\,\,\left| { \cdot g} \right.\\ g \cdot 2 \cdot \sin \left( {\dfrac{\varepsilon }{2}} \right) = d\,\,\,\,\,\left| : \right.2 \cdot \sin \left( {\dfrac{\varepsilon }{2}} \right)\\ g = \dfrac{d}{{2 \cdot \sin \left( {\dfrac{\varepsilon }{2}} \right)}} \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(g = \dfrac{d}{{2 \cdot \sin \left( {\dfrac{\varepsilon }{2}} \right)}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.