Aufgabe 1763
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bahntrasse
Die Steigung einer geradlinigen Bahntrasse wird in Promille (‰) angegeben. Beispielsweise ist bei einem Höhenunterschied von 1 m pro 1 000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung die Steigung 1 ‰.
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Gleichung an, mit der für eine geradlinige Bahntrasse mit der Steigung 30 ‰ der Steigungswinkel α exakt berechnet werden kann (α > 0).
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Laut Angabe entspricht 1 m Höhenunterschied - bei pro 1.000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung - eine Steigung 1 ‰. Für die gewünschte Steigung von 30 ‰ muss der Höhenunterschied - bei pro 1.000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung - somit 30 m betragen.
Es liegt ein rechtwinkeliges Dreieck vor:
- Die horizontale Richtung von 1000 m entspricht der Ankathete vom Steigungswinkel \(\alpha \)
- Der Höhenunterschied von 30 m, entsprechend 30 ‰, entspricht der Gegenkathete vom Steigungswinkel \(\alpha \)
Wir wissen, dass der Tangens dem Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete entspricht. Daher gilt:
\(\tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{30}}{{1000}}\)
Anmerkung: 30 ‰ entspricht 3%. Wenn jemand also unbedingt mit % statt mit ‰ rechnen will, dann muss obiger Zusammenhang wie folgt lauten:
\(\tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{3}}{{100}}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{30}}{{1000}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.