Aufgabe 1037
AHS - 1_037 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wendepunkt
Gegeben sind die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 4x + 5\) sowie die Gleichung der dritten Ableitungsfunktion \(f'''\left( x \right) = \dfrac{3}{2} \ne 0\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes der Funktion f!
Lösungsweg
Wir kennen die Funktion f(x):
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 4x + 5\)
Die Bedingung, damit an der Stelle x0 ein Wendepunkt von f(x) vorliegt lautet:
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und f'''}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)
Nun bilden wir die 2. Ableitung und setzen diese null:
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 3 \cdot \dfrac{1}{4}{x^{3 - 1}} + 2 \cdot \dfrac{3}{2}{x^{2 - 1}} + 4{x^{1 - 1}} = \dfrac{3}{4}{x^2} + 3x + 4 \cr & f''\left( x \right) = 2 \cdot \dfrac{3}{4}{x^{2 - 1}} + 3{x^{1 - 1}} = \dfrac{3}{2}x + 3 = 0 \cr} \)
Nun ermitteln wir das zugehörige x - also die x-Koordinate vom gesuchten WP wie folgt:
\(\eqalign{ & \frac{3}{2}x + 3 = 0 \cr & \frac{3}{2}x = - 3 \cr & 3x = - 6 \cr & x = - 2 \cr} \)
Durch Einsetzen erhalten wir auch noch die zugehörige y-Koordinate vom gesuchten WP wie folgt:
\(f\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + \dfrac{3}{2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 4\left( { - 2} \right) + 5 = - \dfrac{8}{4} + \dfrac{{12}}{2} - 8 + 5 = - 2 + 6 - 8 + 5 = 1\)
Somit können wir den WP anschreiben:
\(WP = ( - 2\left| 1 \right.)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(WP = ( - 2\left| 1 \right.)\)
Die Koordinaten des Wendepunktes lauten daher W = (–2|1).
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn beide Koordinaten des Wendepunktes korrekt angegeben sind.