Aufgabe 1147
AHS - 1_147 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pflanzenwachstum
Die Höhe h (in cm) von drei verschiedenen Pflanzen in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) wurde über einen längeren Zeitraum beobachtet und mittels geeigneter Funktionen h1 (für Pflanze 1), h2 (für Pflanze 2) und h3 (für Pflanze 3) modelliert. Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der drei Funktionen h1, h2 und h3.
- Aussage 1: Der Graph der Funktion h1 ist im Intervall [1; 5] links gekrümmt.
- Aussage 2: Die Wachstumsgeschwindigkeit von Pflanze 1 nimmt im Intervall [11; 13] ab.
- Aussage 3: Während des Beobachtungszeitraums [0; 17] nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit von Pflanze 2 ständig zu.
- Aussage 4: Für alle Werte t ∈ [0; 17] gilt \({h_3}'' \left( t \right) \leq 0\) .
- Aussage 5: Für alle Werte t ∈ [3; 8] gilt: \({h_1}^\prime \left( t \right) < 0\) .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Linkskrümmung: f '' (x0) > 0: Ist der Funktionsgraph an der Stelle x0 linksgekrümmt, so nimmt die Steigung der Tangente zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil man gemäß der Merkregel "nach linkes lenken muss" wenn man den Graph virtuell entlang fährt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil h1 über den gesamten Verlauf linksgekrümmt ist, also f ''(x0) > 0 bzw. die Steigung der Tangente bzw. die Wachstumsgeschwindigkeit zunimmt - und nicht abnimmt
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil h2 zunächst linksgekrümmt aber später rechtsgekrümmt verläuft. Dh zunächst nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit zu, dann nimmt sie ab und scheint, so wie auch h3, in Sättigung zu gehen.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil h3 durchgehend rechtsgekrümmt ist und somit f '' (x0) < 0 gelten muss.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil h1' die Steigung der Tangente angibt und diese ist im Intervall [3; 8] positiv also > 0.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.