Aufgabe 1149
AHS - 1_149 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion f.
- Aussage 1: Die Funktion f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [2; 5] streng monoton fallend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.
- Aussage 4: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale Extremstelle.
- Aussage 5: Die Funktion f ist im Intervall [–2; 0] links gekrümmt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Grafisches Differenzieren
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse |
Lösungsweg
Achtung: Sehr wichtig: Der Graph in der Abbildung stellt die 1. Ableitung f'(x) und nicht die Funktion f(x) dar. Alle Fragen beziehen sich hingegen auf f(x)!
Mit Hilfe der Zusammenhänge die wir über das grafische Differenzieren wissen, können wir die 5 Aussagen wie folgt bewerten:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil f' an der Stelle x=3 eine NST hat → Gemäß der NEW-Regel muss dann f eine Extremstelle (HP bzw TP) haben
Links von 3 verläuft f'(x) oberhalb und rechts von 3 unterhalb der x-Achse → Links von 3 steigt f streng monoton und rechts von 3 sinkt f streng monoton → Die Extremstelle muss ein HP sein - Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wir bereits bei Aussage 1 gezeigt haben, dass im Intervall [2; 5] ein HP liegt und links davon, also im Intervall [2; 3] f(x) von streng monoton steigend ist.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil f'(x) an der Stelle x=0 eine Extremstelle (TP) hat → f(x) hat gemäß der NEW-Regel an dieser Stelle einen Wendepunkt
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil wir schon bei Aussage 3 gezeigt haben, dass f(x) an der Stelle x=0 einen Wendepunkt und somit keine Extremstelle (HP, TP) haben kann
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil f'(x) links von x=0 oberhalb der x-Achse liegt → f(x) steigt in diesem Bereich streng monoton. Weiters wissen wir aus Aussage 3, dass f(x) an der Stelle x=0 einen Wendepunkt hat. Daher muss f(x) im Intervall [–2; 0] rechts gekrümmt sein
Mit Hilfe von Geogebra zeichnen wir den Graph von f(x) in die Illustration zusätzlich zu f'(x) ein.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.