Aufgabe 1154
AHS - 1_154 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Monotonie
Gegeben ist die reelle Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die Funktion f ist im Intervall [2; 3] ______1_______ , weil _____2______ .
1 | |
streng monoton fallend | A |
konstant | B |
streng monoton steigend | C |
2 | |
für alle \(x \in \left[ {2;3} \right]\,\,\,f''\left( x \right) > 0\) gilt | I |
für alle \(x \in \left[ {2;3} \right]\,\,\,f'\left( x \right) > 0\) gilt | II |
es ein \(x \in \left[ {2;3} \right]\,\,{\text{mit }}\,f'\left( x \right) = 0\) gibt | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir erinnern uns an die Zusammenhänge zwischen höheren Ableitungen:
- \(f''\left( x \right) > 0\) → Funktion f ist links gekrümmt
- \(f'\left( x \right) > 0\) → Funktion f ist streng monoton wachsend
- \(f'\left( x \right) = 0\) → Tangente ist waagrecht bzw. Indikation für einen HP bzw. TP
Da die Funktion sehr einfach ist, machen wir mit Hilfe dreier Punkte eine Skizze vom Funktionsgraph:
Zunächst ermittlen wir den TP oder HP, indem wir die 1. Ableitung f'(x) null setzen:
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3 \cr
& f'\left( x \right) = 2x - 2 \cr
& 2x - 2 = 0 \cr
& 2x = 2 \cr
& x = 1 \cr} \)
jetzt noch einen Punkt links und einen Punkt rechts von x=1
x | f(x) |
-1 | 6 |
1 | 2 |
3 | 6 |
Damit können wir den Graph der Funktion wie folgt skizzieren:
Lösungsweg
Aus der Skizze entnehmen wir, dass die Funktion im Intervall [2; 3] streng monoton steigend / wachsend ist. Das ist dann der Fall, wenn \(f'\left( x \right) > 0\)
→ Die Funktion f ist im Intervall [2; 3] streng monoton steigend, weil für alle \(x \in \left[ {2;3} \right]\,\,\,f'\left( x \right) > 0\) gilt.
Ohne Skizze hätte man die richtige Lösung etwa wie folgt finden können:
- Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, können wir die Option vom konstanten Verlauf ausschließen. Bleibt nur noch zu klären ob der Graph im Intervall [2; 3] monoton steigt oder fällt?
- Die Aussage ob ein Graph in einem Intervall steigt oder fällt, hängt von der Aussage ab ob f'(x) größer oder kleiner null ist. Da ausschließlich die Option \(f'\left( x \right) > 0\) angeboten wird, muss sie wohl die richtige sein....
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Funktion f ist im Intervall [2; 3] streng monoton steigend, weil für alle \(x \in \left[ {2;3} \right]\,\,\,f'\left( x \right) > 0\) gilt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken jeweils der richtige Satzteil angekreuzt ist.