Aufgabe 1181
AHS - 1_181 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sprungschanze
In der nachstehenden Abbildung ist der Längsschnitt einer Skisprungschanze samt Aufsprungbahn und Auslauf dargestellt.
In einem Koordinatensystem mit horizontaler x-Achse sei der Längsschnitt der Aufsprungbahn der Graph der Funktion a. Die steilste Stelle der Aufsprungbahn befindet sich am K-Punkt.
- Aussage 1: Am K-Punkt gilt: \(a''\left( x \right) < 0\) .
- Aussage 2: Der K-Punkt ist Wendepunkt der Funktion a.
- Aussage 3: Der K-Punkt ist ein Extrempunkt mit \(a'\left( x \right) = 0\) .
- Aussage 4: Der K-Punkt ist ein Sattelpunkt.
- Aussage 5: Am K-Punkt ändert sich die Krümmung des Graphen der Funktion a.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Der Wendepunkt einer Funktion ist jener Punkt an dem die Funktion f(x) die stärkste Steigung hat. Für den Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil lt. Angabe a(x) im K-Punkt die steilste Stelle (=die stärkste Steigung) hat. Daher muss der K-Punkt ein WP sein und daher muss dort a''(x)=0 gelten.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil t. Angabe a(x) im K-Punkt die steilste Stelle (=die stärkste Steigung) hat. Daher muss der K-Punkt ein WP sein.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil a'(x)=0 eine horizontale Tangente im K-Punkt postulieren würde, was offensichtlich nicht der Fall ist - im Gegenteil.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil ein Sattelpunkt ein Wendepunkt mit einer horizontalen Tangente ist, während die Tangente im K-Punkt die maximale Steigung hat.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil im K-Punkt ein Wendepunkt vorliegt und sich die Krümmung von rechts auf linksgekrümmt ändert.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.