Aufgabe 1225
AHS - 1_225 & Lehrstoff: AN 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Höhe einer Pflanze
Die Höhe x einer Pflanze wächst in einem gewissen Zeitraum um 4 % pro Woche.
Aufgabenstellung
Stellen Sie eine Differenzengleichung auf, die die Entwicklung der Höhe dieser Pflanze beschreibt! Dabei wird n in Wochen angegeben.
\(\begin{array}{l} {x_0} = 20\\ {x_{n + 1}} - {x_n} = \end{array}\)
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Eine (lineare) Differenzengleichung ist eine Gleichung vom Typ \({x_{n + 1}} - {x_n} = k\), wobei zwischen xn-1 und xn ein diskretes Intervall liegt.
- Differenzengleichungen finden als Rekursionsgleichungen praktische Anwendung.
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b\)
- \({x_n} = a \cdot {x_{n - 1}} + b \cdot {x_{n - 2}}\)
Lösungsweg
Wir rechnen die Angabe beispielhaft für die ersten 3 Wochen und notieren folgende Rekursionsgleichungen:
\(\eqalign{ & {x_0} = 20 \cr & {x_1} = 20 + 20 \cdot 0,04 = 20,8 = {x_0} + {x_0} \cdot 0,04 \cr & {x_2} = 20,8 + 20,8 \cdot 0,04 = 21,632 = {x_1} + {x_1} \cdot 0,04 \cr} \)
Aus obigen Rekursionsgleichungen können wir die gesuchte Differenzengleichung wie folgt ableiten:
\(\eqalign{ & {x_{n + 1}} = {x_n} + {x_n} \cdot 0,04 \cr & {x_{n + 1}} - {x_n} = 0,04 \cdot {x_n} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_{n + 1}} - {x_n} = 0,04 \cdot {x_n}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt wird für die Angabe einer zur Lösungserwartung äquivalenten Gleichung vergeben.