Aufgabe 1358
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der 1. Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion f dargestellt.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie, an welchen Stellen die Funktion f im Intervall (–5; 5) jedenfalls lokale Extrema hat! Die für die Bestimmung relevanten Punkte mit ganzzahligen Koordinaten können der Abbildung entnommen werden.
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Lösungsweg
Gegeben ist die erste Ableitung einer Polynomfunktion. Aus den Zusammenhängen zwischen höheren Ableitungen wissen wir, dass eine Funktion dort ihre Extremwerte hat, wo die 1. Ableitung null ist. Es gilt: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} \,\,dx\)
Bei dieser Aufgabenstellung müssen wir nur umgekehrt formulieren: Dort wo die 1. Ableitung ihre Nullstellen hat, dort muss die zugehörige Funktion ihre Extremstellen haben. Dies ist an den Stellen \(x = \pm 4\) der Fall
→ An den Stellen x1 = –4 und x2 = 4 hat f lokale Extrema.
Nachfolgende Illustration dient der Veranschaulichung der Zusammenhänge, wobei aus Platzgründen die Funktion f(x) mit um 0,5 verkleinerten y-Werte dargestellt wurde.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
An den Stellen x1 = –4 und x2 = 4 hat f lokale Extrema.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn beide Stellen richtig angegeben sind. Eine Schreibweise wie z. B.: \(x = \pm 4\) ist auch zulässig. Die Aufgabe ist falsch gelöst, wenn nur eine der beiden lokalen Extremstellen angegeben ist.