Aufgabe 1382
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Negative erste Ableitung
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [–3; 11] dargestellt. An der Stelle x = 4 hat die Funktion ein lokales Minimum.
Aufgabenstellung:
Geben Sie das Intervall I für diejenigen Stellen x ∈ [–3; 11] an, für die gilt: f ′( x) < 0!
I =
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Lösungsweg
- Links vom Minimum, welches bei x=4 liegt, ist f(x) fallend. → Die 1. Ableitung f'(x) muss links von x=4 negativ sein → f ′( x) < 0
- Im Minimum ist die Tangente an die Funktion f(x) horizontal, für ihre Steigung gilt somit: k = f ′( x=4) = 0. D.h. f'(x) hat an dieser Stelle eine NST.
- Rechts vom Minimum, welches bei x=4 liegt, ist f(x) steigend → Die 1. Ableitung f'(x) muss rechts von x=4 positiv sein → f ′( x) > 0
Als Lösung für die Bedingung f ′( x) < 0 kommt daher nur das Intervall in Frage, welches links vom der Nullstelle liegt, wobei wegen des "kleiner" Zeichens, die Nullstelle selbst, wegen k = f ′( x=4) = 0 ausgenommen werden muss:
→ I = [–3; 4)
Mit Hilfe von Geogebra können wir auch hier die Lösung wie folgt illustrieren:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
I = [–3; 4)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Lösung ist nur dann als richtig zu werten, wenn das Lösungsintervall bei 4 offen ist.