Aufgabe 1432
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung einer Winkelfunktion
Eine Gleichung einer Funktion f lautet: \(f\left( x \right) = 5 \cdot \cos \left( x \right) + \sin \left( {3 \cdot x} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der Ableitungsfunktion f ′ der Funktion f an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Für den ersten Term wenden wir die Produktregel an.
- Für den zweiten Term wenden wir die Kettenregel an und denken daher an die innere Ableitung vom Ausdruck 3x in der Klammer.
Sinus differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)
Kosinus differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)
Kettenregel (Differenzieren)
\(\eqalign{ & f\left( {g\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Man leitet zuerst die Funktion selbst ab und multipliziert dann mit deren "innerer Ableitung"
Lösungsweg
Wir differenzieren die beiden Summanden gemäß den Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen und denken an die innere Ableitung für den Ausdruck 3x in der Klammer von der Sinus Funktion.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 5 \cdot \cos \left( x \right) + \sin \left( {3x} \right) \cr & f'\left( x \right) = 5 \cdot \left( { - \sin \left( x \right)} \right) + \cos \left( {3x} \right) \cdot 3 = - 5 \cdot \sin \left( x \right) + 3 \cdot \cos \left( {3x} \right) \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - 5 \cdot \sin \left( x \right) + 3 \cdot \cos \left( {3 \cdot x} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.