Aufgabe 1454
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokale Extremstellen
In der nachstehenden Tabelle sind Funktionswerte einer Polynomfunktion f dritten Grades sowie ihrer Ableitungsfunktionen f‘ und f‘‘ angegeben.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | -2 | 1 | 0 | -2 | 2 |
f‘(x | 9 | 0 | -3 | 0 | 9 |
f‘‘(x | -12 | -6 | 0 | 6 | 12 |
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, an welchen Stellen des Intervalls (0; 4) die Funktion f jedenfalls lokale Extremstellenbesitzt!
Lösungsweg
Wir kennen u.a. folgende Zusammenhänge zwischen höheren Ableitungen mit Relevanz für Extremstellen:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
- Ablesen der Nullstellen der Ableitungsfunktion f‘ aus der Tabelle liefert: \({x_1} = 1\) und \({x_2} = 3\)
- Ablesen der Werte der zweiten Ableitung an diesen Stellen liefert \(f''({x_1}) = - 6 \ne 0\) und \(f''({x_2}) = 6 \ne 0\)
- Somit sind \({x_1} = 1\) und \({x_2} = 3\) lokale Extremstellen.
- Da eine Polynomfunktion dritten Grades lediglich zwei lokale Extremstellen besitzen kann, können keine weiteren lokalen Extremstellen im Intervall (0; 4) auftreten.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Funktion f besitzt folgende 2 lokale Extremstellen: \({x_1} = 1\) und \({x_2} = 3\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe beider Stellen.