Aufgabe 1479
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionen und Ableitungsfunktionen
Nachfolgend sind die Graphen von vier Polynomfunktionen (f1, f2, f3, f4) abgebildet....
- Graph der Polynomfunktion f1:
- Graph der Polynomfunktion f2:
- Graph der Polynomfunktion f3:
- Graph der Polynomfunktion f4:
... ab hier folgen die Graphen von 6 weiteren Funktionen (g1, g2, g3, g4, g5, g6 ).
- A Graph der Ableitungsfunktion g1:
- B Graph der Ableitungsfunktion g2:
- C Graph der Ableitungsfunktion g3:
- D Graph der Ableitungsfunktion g4:
- E Graph der Ableitungsfunktion g5:
- F Graph der Ableitungsfunktion g6:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Polynomfunktionen f1 bis f4 ihre jeweilige Ableitungsfunktion aus den Funktionen g1 bis g6 (aus A bis F) zu!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
\(f\left( x \right)\) | N | E | W | ||
\(f'\left( x \right)\) | N | E | W | ||
\(f''\left( x \right)\) | N | E | W |
Zusätzlich benötigen wir noch folgende Regeln:
f steigt streng monoton | f‘ liegt oberhalb der x-Achse |
f sinkt streng monoton | f‘ liegt unterhalb der x-Achse |
Lösungsweg
- Der Graph der Polynomfunktion f1 hat "E" als Ableitungsfunktion, weil es sich
- bei f(x) um eine quadratische Funktion (= Funktion 2. Grades) handelt. Beim Ableiten reduziert sich der Grad und daher ist f‘(x) eine lineare Funktion (= Funktion 1. Grades), also eine Gerade.
- an der Stelle x=0 ein Extremwert (TP) vorliegt, der bei der abgeleiteten Funktion ein Nullpunkt werden muss.
- Der Graph der Polynomfunktion f2 hat "A" als Ableitungsfunktion, weil es sich
- bei f(x) um eine Polynomfunktion 3. Grades handelt. Beim Ableiten reduziert sich der Grad und daher ist f‘(x) eine quadratische Funktion.
- an der Stelle x=0 eine Wendestelle vorliegt, der bei der abgeleiteten Funktion ein Extremwert werden muss
- Der Graph der Polynomfunktion f3 hat "F" als Ableitungsfunktion, weil es sich
- auf Grund der 3 Extremstellen (TP, HP, TP) um eine Polynomfunktion 4. Grades handelt. Beim Ableiten reduziert sich der Grad und daher ist f‘(x) eine Polynomfunktion 3. Grades.
- an den Stellen x1=-1 sowie an x2=0 und an x3=1 liegen jeweils Extremstellen vor, die bei der abgeleiteten Funktion jeweils zu Nullstellen werden müssen.
- f sinkt monoton im offenen Intervall -2 bis -1. Daraus folgert, dass f‘ in diesem Intervall unterhalb der x-Achse liegen muss.
- Der Graph der Polynomfunktion f4 hat "D" als Ableitungsfunktion, weil es sich
- bei f(x) um eine Polynomfunktion 3. Grades handelt. Beim Ableiten reduziert sich der Grad und daher ist f‘(x) eine quadratische Funktion.
- an den Stellen x1=0 sowie an x2=2 1 liegen jeweils Extremstellen vor, die bei der abgeleiteten Funktion jeweils zu Nullstellen werden müssen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph f1: hat "E" als Ableitungsfunktion
- Graph f2: hat "A" als Ableitungsfunktion
- Graph f3: hat "F" als Ableitungsfunktion
- Graph f4: hat "D" als Ableitungsfunktion
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der richtige Buchstabe zugeordnet ist.