Aufgabe 1503
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen von Ableitungsfunktionen
In den unten stehenden Abbildungen sind jeweils die Graphen der Funktionen f, g und h dargestellt.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
- Graph 6:
Aufgabenstellung:
In einer der sechs Abbildungen ist g die erste Ableitung von f und h die zweite Ableitung von f. Wählen Sie diese Abbildung aus!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Grafisches Differenzieren
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse |
Merkhilfe: NEW-Regel:
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
f(x) | N | E | W | ||
f'(x) | N | E | W | ||
f''(x) | N | E | W |
Lösungsweg
Wir gehen für jeden der 6 Graphen die Regeln für das grafische Differenzieren solange durch, bis wir einen Ausschließungsgrund für die Bedingung \(g\left( x \right) = f'\left( x \right){\text{ und }}h\left( x \right) = f''\left( x \right)\) gefunden haben - oder eben keinen Ausschließungsgrund finden....
- Graph 1: g sinkt monoton und steigt nach dem Tiefpunkt monoton → h liegt zuerst unterhalb der x-Achse und danach oberhalb → h verläuft aber genau umgekehrt ⇒ Ausschließungsgrund gefunden
- Graph 2: g sinkt monoton und steigt nach dem Tiefpunkt monoton → h liegt zuerst unterhalb der x-Achse und danach oberhalb → h verläuft aber genau umgekehrt ⇒ Ausschließungsgrund gefunden
- Graph 3: es findet sich kein Ausschließungsgrund ⇒ richtige Lösung
- Graph 4: g steigt monoton und sinkt nach dem Tiefpunkt Monoton → h liegt zuerst oberhalb der x-Achse und danach unterhalb → h verläuft aber genau umgekehrt ⇒ Ausschließungsgrund gefunden
- Graph 5: f sinkt monoton zwischen den beiden Tiefpunkt → g liegt unterhalb der x-Achse → g verläuft aber genau umgekehrt ⇒ Ausschließungsgrund gefunden
- Graph 6: g steigt monoton und sinkt nach dem Tiefpunkt monoton → h liegt zuerst oberhalb der x-Achse und danach unterhalb → h verläuft aber genau umgekehrt ⇒ Ausschließungsgrund gefunden
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Graph 3 erfüllt die Bedingung \(g\left( x \right) = f'\left( x \right){\text{ und }}h\left( x \right) = f''\left( x \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die richtige Abbildung angekreuzt ist.