Aufgabe 1504
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsregeln
Über zwei Polynomfunktionen f und g ist bekannt, dass für alle \(x \in {\Bbb R}\) gilt: \(g\left( x \right) = 3 \cdot f\left( x \right) - 2\)
- Aussage 1: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right)\)
- Aussage 2: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2\)
- Aussage 3: \(g'\left( x \right) = 3 \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 4: \(g'\left( x \right) = 3 \cdot f'\left( x \right) - 2\)
- Aussage 5: \(g'\left( x \right) = 3 \cdot f'\left( x \right) - 2 \cdot x\)
- Aussage 6: \(g'\left( x \right) = - 2 \cdot f'\left( x \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Aussagen ist jedenfalls für alle \(x \in {\Bbb R}\) wahr? Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Produktregel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Summen- bzw. Differenzenregel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)
Lösungsweg
Wir wenden die oben stehenden Regeln für das Differenzieren an und erhalten:
\(\eqalign{ & g\left( x \right) = 3 \cdot f\left( x \right) - 2 \cr & g'\left( x \right) = 3 \cdot f\left( x \right) \cr} \)
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil \(f'\left( x \right) \ne 3 \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil \(f'\left( x \right) - 2 \ne 3 \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil \(3 \cdot f'\left( x \right) = 3 \cdot f'\left( x \right) \Rightarrow {\text{richtige Lösung}}\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil \(3 \cdot f'\left( x \right) - 2 \ne 3 \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil \(3 \cdot f'\left( x \right) - 2x \ne 3 \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 6: Diese Aussage ist falsch, weil \( - 2 \cdot f\left( x \right) \ne 3 \cdot f'\left( x \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Aussage 3 ist die korrekte Lösung
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die richtige Aussage angekreuzt ist.