Aufgabe 1580
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinusfunktion und Cosinusfunktion
Gegeben sind die Funktionen f mit \(f\left( x \right) = \sin \left( {a \cdot x} \right)\) und g mit \(g\left( x \right) = a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right){\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)
- Aussage 1: \(a \cdot f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)
- Aussage 2: \(g'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
- Aussage 3: \(a \cdot g\left( x \right) = f'\left( x \right)\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = a \cdot g'\left( x \right)\)
- Aussage 5: \(f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)
- Aussage 6: \(g'\left( x \right) = a \cdot f\left( x \right)\)
Aufgabenstellung
Welche Beziehung besteht zwischen den Funktionen f und g und deren Ableitungsfunktionen? Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die für alle a ∈ ℝ gilt!
Lösungsweg
- Kettenregel: Man leitet zuerst die Funktion selbst ab und multipliziert dann mit deren "innerer Ableitung"
- Summenregel: 1. Faktor ableiten mal 2. Faktor abschreiben plus 1. Faktor abschreiben mal 2. Faktor ableiten
Kettenregel:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin \left( {a \cdot x} \right)\\ f'\left( x \right) = \cos \left( {a \cdot x} \right) \cdot a = a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right) \end{array}\)
Summen- und Kettenregel:
\(\begin{array}{l} g\left( x \right) = a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right)\\ g'\left( x \right) = 0 \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right) + a \cdot \left( { - \sin \left( {a \cdot x} \right) \cdot a} \right) = - {a^2} \cdot \sin \left( {a \cdot x} \right) \end{array}\)
Oben haben wir bereits für f und g die jeweilige 1. Ableitung gebildet. Wir müssen also nur mehr die einzelnen Aussagen auf Übereinstimmung überprüfen. Wir fassen wie folgt zusammen:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin \left( {a \cdot x} \right)\\ f'\left( x \right) = a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right) \end{array}\)
bzw.:
\(\begin{array}{l} g\left( x \right) = a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right)\\ g'\left( x \right) = - {a^2} \cdot \sin \left( {a \cdot x} \right) \end{array}\)
- 1. Aussage: Diese Aussage ist falsch weil \(a \cdot f'\left( x \right) = g\left( x \right) \to {a^2} \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right) \ne a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right)\)
- 2. Aussage: Diese Aussage ist falsch, weil \(g'\left( x \right) = f\left( x \right) \to - {a^2} \cdot sin\left( {a \cdot x} \right) \ne \sin \left( {a \cdot x} \right)\)
- 3. Aussage: Diese Aussage ist falsch, weil \(a \cdot g\left( x \right) = f'\left( x \right) \to {a^2} \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right) \ne a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right)\)
- 4. Aussage: Diese Aussage ist falsch, weil \(f\left( x \right) = a \cdot g'\left( x \right) \to \sin \left( {a \cdot x} \right) \ne - {a^3} \cdot \sin \left( {a \cdot x} \right)\)
- 5. Aussage: Diese Aussage ist richtig, weil \(f'\left( x \right) = g\left( x \right) \to a \cdot cos\left( {a \cdot x} \right) = a \cdot \cos \left( {a \cdot x} \right)\)
- 6. Aussage: Diese Aussage ist falsch, weil \(g'\left( x \right) = a \cdot f\left( x \right) \to - {a^2} \cdot \sin \left( {a \cdot x} \right) \ne a \cdot \sin \left( {a \cdot x} \right)\)
Ergebnis
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Gleichung angekreuzt ist.