Aufgabe 1606
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmtes Integral
Der Graph einer Funktion f schneidet die x-Achse in einem gewissen Bereich an den Stellen a, b, c, d und e.
- Aussage 1: \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 3: \(\int\limits_b^d {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Aussage 4: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 5: \(\int\limits_d^e {f\left( x \right)\,\,dx} \)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehend angeführten bestimmten Integrale haben einen Wert, der größer als 0 ist? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden bestimmten Integrale an!
Lösungsweg
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Ist im betrachteten Intervall f(x) > 0, so ergibt sich ein positiver Wert für den Flächeninhalt. Das ist uns ohne weiteren Erklärungen vertraut.
- Ist im betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet.
Wir müssen nun die 5 gegebenen Flächenstücke auf deren "Orientierung" untersuchen und entscheiden ob die Fläche über der x-Achse größer ist als die Fläche unter der x-Achse
- Aussage 1: Richtig, weil die Fläche zwischen a und b größer ist als die Fläche zwischen b und c und die Gesamtfläche somit größer 0 ist
- Aussage 2: Falsch, weil die Fläche zwischen b und c negativ orientiert ist
- Aussage 3: Falsch, weil die Fläche zwischen b und c negativ orientiert und größer als die Fläche zwischen c und d ist
- Aussage 4: Richtig, weil die Fläche zwischen a und b größer 0 ist
- Aussage 5: Falsch, weil die Fläche zwischen d und e negativ orientiert ist
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen bestimmten Integrale angekreuzt sind.