Aufgabe 1630
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionsgraph
Eine nicht konstante Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) hat folgende Eigenschaften:
\(\eqalign{ & f\left( 4 \right) = 2 \cr & f'\left( 4 \right) = 0 \cr & f''\left( 4 \right) = 0 \cr & f'\left( x \right) \leqslant 0 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung einen möglichen Graphen einer solchen Funktion f!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Lösungsweg
Wir analysieren welchen Wissensgewinn wir aus der Angabe in Bezug auf den Graph der gesuchten Funktion erzielen können:
- \(f\left( 4 \right) = 2\) → f(x) verläuft durch den Punkt \(P\left( {4\left| 2 \right.} \right)\)
- \(f'\left( 4 \right) = 0\) → die Tangente an f(x) im Punkt \(P\left( {4\left| 2 \right.} \right)\) verläuft horizontal, weil für die 1. Ableitung bzw. die Steigung k=0 gilt
- \(f''\left( 4 \right) = 0\) → da die 1. und die 2. Ableitung im Punkt \(P\left( {4\left| 2 \right.} \right)\) null sind, muss an dieser Stelle ein Sattelpunkt vorliegen
- \(f'\left( x \right) \leqslant 0\) → die Funktion f(x) muss vor und nach dem Sattelpunkt \(P\left( {4\left| 2 \right.} \right)\) monoton fallend sein.
Mit diesen Angaben können wir die Funktion zeichnen:
- Den Sattelpunkt \(P\left( {4\left| 2 \right.} \right)\)
- Die horizontale Tangente in P
- Links und rechts vom Sattelpunkt fallend
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Darstellung eines möglichen Graphen einer Funktion f, wobei alle in der Angabe angeführten Eigenschaften erkennbar sein müssen.