Aufgabe 1652
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Stammfunktionen
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Funktion g dargestellt.
Bild
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die Funktion g zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Jede Stammfunktion von g ist eine Polynomfunktion zweiten Grades.
- Aussage 2: Jede Stammfunktion von g hat an der Stelle x = –2 ein lokales Minimum.
- Aussage 3: Jede Stammfunktion von g ist im Intervall (0; 2) streng monoton fallend.
- Aussage 4: Die Funktion G mit G(x) = –0,5 ist eine Stammfunktion von g.
- Aussage 5: Jede Stammfunktion von g hat mindestens eine Nullstelle.
Lösungsweg
- Aussage 1: Richtig, weil wenn man eine Funktion 1. Grades integriert erhält man eine Funktion 2. Grades
- Aussage 2: Falsch, weil an der Nullstelle der Funktion die Stammfunktion zwar einen Extremwert haben muss, aber da die Funktion links von der NST positiv und die Stammfunktion in diesem Bereich daher steigend sein muss, ist die Funktion rechts von der NST negativ, somit muss die Stammfunktion in diesem Bereich fallend sein. Daher muss der Extremwert ein lokales Maximum und kein lokales Minimum sein.
- Aussage 3: Richtig, weil die Funktion rechts von der NST negativ ist, muss die Stammfunktion in diesem Bereich streng monoton fallend sein
- Aussage 4: Falsch, weil wir schon bei Aussage 1 festgestellt haben, dass die Stammfunktion eine Funktion 2. Grades sein muss. Anmerkung: Die 1. Ableitung der Funktion f(x) wäre f‘(x)=0,5
- Aussage 5: Falsch, weil die Stammfunktion eine Funktion 2. Grades also eine (in diesem Fall nach unten offene) Parabel ist und sich der Graph der Stammfunktion abhängig von der Integrationskonstante auch unterhalb der x-Achse befinden kann und somit die x-Achse nicht schneidet. (Die Stammfunktion hat dann 2 konjugiert komplexe NST)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Bild
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.