Aufgabe 1678
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Untersumme und Obersumme
In den nachstehenden Abbildungen sind jeweils der Graph einer Funktion f sowie eine Untersumme U (= Summe der Flächeninhalte der dunkel markierten, gleich breiten Rechtecke) und eine Obersumme O (= Summe der Flächeninhalte der dunkel und hell markierten, gleich breiten Rechtecke) im Intervall [–a; a] dargestellt
Aufgabenstellung:
Für zwei Funktionen, deren Graph nachstehend abgebildet ist, gilt bei konstanter Rechteckbreite im Intervall [–a; a] die Beziehung \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)} \,\,dx = \dfrac{{O + U}}{2}\). Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, bei denen die gegebene Beziehung erfüllt ist!
- Abbildung 1:
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- Abbildung 2:
Bild - Abbildung 3:
Bild - Abbildung 4:
Bild - Abbildung 5:
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Lösungsweg
Unter- und Obersumme dienen zur näherungsweisen Berechnung von Flächen. Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man die einzelnen Flächen als das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt.
In dieser Aufgabe soll der arithmetische Mittelwert aus Unter- und Obersumme exakt der Fläche unter der Funktion entsprechen. Das ist nur dann der Fall, wenn die Obersumme um exakt die Fläche zu groß ist, um welche die Untersumme zu klein ist.
Die Herausforderung bei dieser Aufgabe ist, dass man alleine auf Grund des Vergleichs der hellen und der dunklen Flächen die richtigen Antworten kaum finden kann.
Für das Beispiel der Abbildung 4, der quadratischen Funktion, gilt:
- der exakte Wert, also das Integral = 43,2
- die Obersumme = 67,2, also viel zu hoch
- die Untersumme = 24, also viel zu nieder
- \(\dfrac{{67,2 + 24}}{2} = 45,6\), also sehr nahe am exakten Wert von 43,2
D.h. der Unterschied von Ober- bzw. Untersumme für sich alleine genommen, im Vergleich zum exakten Wert, ist sehr hoch. Der arithmetische Mittelwert aus Ober- und Untersumme kommt dem exakten Wert aber schon sehr nahe.
Wo man die richtige Lösung sofort sieht, ist Abbildung 3, die lineare Funktion. Diese Funktion ist punktsymmetrisch, d.h.: \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse. Die einzige Abbildung für die diese Form der Symmetrie noch gilt, ist Abbildung 1. Wir schließen daher, dass auch Abbildung 1 richtig ist.
- Abbildung 1: Richtig, weil punktsymmetrisch für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse
- Abbildung 2: Falsch, weil nicht punktsymmetrisch für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse
- Abbildung 3: Richtig, weil punktsymmetrisch für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse
- Abbildung 4: Falsch, weil nicht punktsymmetrisch für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse
- Abbildung 5: Falsch, weil nicht punktsymmetrisch für den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Abbildung 1: Richtig
- Abbildung 2: Falsch
- Abbildung 3: Richtig
- Abbildung 4: Falsch
- Abbildung 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Funktionsgraphen angekreuzt sind.