Aufgabe 1679
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wert eines bestimmten Integrals
Nachstehend ist der Graph einer Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) dargestellt. Zusätzlich sind zwei Flächen gekennzeichnet. Die Fläche A1 wird vom Graphen der Funktion f und von der x-Achse im Intervall [0; 4] begrenzt und hat einen Flächeninhalt von \(\dfrac{{16}}{3}\) Flächeneinheiten. Die Fläche A2 wird vom Graphen der Funktion f und von der x-Achse im Intervall [4; 6] begrenzt und hat einen Flächeninhalt von \(\dfrac{7}{3}\) Flächeneinheiten.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des bestimmten Integrals \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Lösungsweg
Ist in einem betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet. Bei der vorliegenden Funktion gilt dies für die Fläche A1.
Somit müssen wir von der positiv orientierten Fläche A2 die negativ orientierte Fläche A2 abziehen.
\(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} \,\,dx = {A_2} - {A_1} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{{16}}{3} = - \dfrac{9}{3} = - 3\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} \,\,dx = - 3\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.