Aufgabe 1700
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Werte einer Ableitungsfunktion
Gegeben ist die Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = 3 \cdot {e^x}\)
Aufgabenstellung:
Die nachstehenden Aussagen beziehen sich auf Eigenschaften der Funktion f bzw. deren Ableitungsfunktion f′. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Es gibt eine Stelle \(x \in {\ R}{\text{ mit f'}}\left( x \right) = 2\)
- Aussage 2: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) > f'\left( {x + 1} \right)\)
- Aussage 3: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) = 3 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 4: Es gibt eine Stelle \(x \in {\Bbb R}{\text{ mit }}f'\left( x \right) = 0\)
- Aussage 5: Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}f'\left( x \right) \geqslant 0\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Bei so einem Beispiel ist es immer am besten man arbeitet mit einer Skizze. Der Verlauf der eulerschen Funktion sollte bekannt sein:
- Sie kommt von minus Unendlich, wo sie sich der negativen x-Achse unendlich stark angenähert hat.
- Sie verläuft durch die Punkte \(P\left( {0\left| 1 \right.} \right){\text{ und }}\left( {1\left| e \right.} \right)\), mit \(e = 2,7182818..\)
Die mit 3 multiplizierte Funktion \(f\left( x \right) = 3 \cdot {e^x}\) verläuft daher durch die Punkte \(P\left( {0\left| 3 \right.} \right){\text{ und }}\left( {1\left| {3e} \right.} \right)\)
Das „einmalige“ an der eulerschen Funktion ist, dass f(x)=f‘(x). D.h. die Funktion ist mit ihrer Ableitungsfunktion identisch.
- Aussage 1: Richtig, weil sowohl f(x) als auch f‘(x) alle Funktionswerte größer Null annimmt
- Aussage 2: Falsch, weil f‘(x) streng monoton steigend ist, jeder nachfolgende Funktionswert als größer als sein vorhergehender Funktionswert sein muss
- Aussage 3: Falsch, weil f‘(x)=f(x)
- Aussage 4. Falsch, weil es keinen Punkt mit einer horizontalen Tangente gibt, obwohl sich der Graph der Funktion für negative x zunehmend der negativen x-Achse annähert.
- Aussage 5: Richtig, weil sowohl f(x) als auch f‘(x) ausschließlich positive Funktionswerte annehmen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.