Aufgabe 1702
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f : ℝ → ℝ vom Grad 3 im Intervall [–1; 7] dargestellt. Alle lokalen Extremstellen sowie die Wendestelle von f im Intervall [–1; 7] sind ganzzahlig und können aus der Abbildung abgelesen werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(f''\left( 3 \right) = 0\)
- Aussage 2: \(f'\left( 1 \right) > f'\left( 3 \right)\)
- Aussage 3: \(f''\left( 1 \right) = f''\left( 5 \right)\)
- Aussage 4: \(f''\left( 1 \right) > f''\left( 4 \right)\)
- Aussage 5: \(f'\left( 3 \right) = 0\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Es handelt sich um ein Polynom 3. Grades. Dem Graph können wir wie folgt entnehmen:
\(\eqalign{
& TP = (0\left| {0)} \right. \cr
& WP = \left( {3\left| 3 \right.} \right) \cr
& HP = \left( {6\left| 4 \right.} \right) \cr} \)
Wir wenden die Regeln für die Zusammenhänge zwischen höheren Ableitungen wie folgt an:
- Aussage 1: Richtig, weil an der Stelle \(\left( {3\left| 3 \right.} \right)\) ein Wendepunkt von f(x) vorliegt, an dieser Stelle die 2. Ableitung Null sein muss \(f''\left( 3 \right) = 0\)
- Aussage 2: Falsch, weil an der Stelle \(\left( {3\left| 3 \right.} \right)\) ein Wendepunkt von f(x) vorliegt, die Tangente an dieser Stelle die maximale Steigung haben muss und somit nicht gelten kann, dass \(f'\left( 1 \right) > f'\left( 3 \right)\)
- Aussage 3: Falsch, weil zwischen den beiden Argumenten der Wendepunkt von f(x) liegt. Links vom WP ist f(x) links gekrümmt, daher muss f‘‘(x)>0 gelten. Rechts vom WP ist f(x) rechts gekrümmt, daher muss f‘‘(x)<0 gelten. Folglich können die Werte nicht gleich groß sein.
- Aussage 4: Richtig, weil zwischen den beiden Argumenten der Wendepunkt von f(x) liegt. Links vom WP ist f(x) links gekrümmt, daher muss f‘‘(x)>0 gelten. Rechts vom WP ist f(x) rechts gekrümmt, daher muss f‘‘(x)<0 gelten. Der positive Wert f‘‘(1) muss daher größer sein, als der negative Wert f‘‘(4)
- Aussage 5: Falsch, weil man dem Graph entnehmen kann, dass die Tangente im WP sicher eine positive Steigung hat und nicht waagrecht verläuft
Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge dient folgende Illustration:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.