Aufgabe 1726
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmen eines Koeffizienten
Gegeben ist die Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + 2{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des Koeffizienten a so an, dass die Gleichung \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1\) erfüllt ist.
Lösungsweg
Wir haben die Summenfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + 2\) gegeben.
Deren Stammfunktion ist durch Integration aufzusuchen
\(\int\limits_0^1 {\left( {a \cdot {x^2} + 2} \right)} \,\,dx = a \cdot \int\limits_0^1 {{x^2}\,\,dx + \int\limits_0^1 2 } \,\,dx = \left. {a \cdot \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {2 \cdot x} \right|_0^1\)
Nun sind die Integrationsgrenzen einzusetzen und der Term gemäß Aufgabenstellung gleich 1 zu setzen
\(\left. {a \cdot \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {2 \cdot x} \right|_0^1 = \dfrac{a}{3} + 2 = 1\)
Im letzten Schritt ist der Koeffizient a so zu bestimmen, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt
\(\eqalign{ & \dfrac{a}{3} + 2 = 1 \cr & \dfrac{a}{3} = - 1 \cr & a = - 3 \cr} \)
Die richtige Lösung lautet somit a=-3
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
a=-3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.