Aufgabe 1746
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzenquotient und Differenzialquotient
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion f zweiten Grades abgebildet. Zusätzlich sind vier Punkte auf dem Graphen mit den x-Koordinaten x1, x2, x3 und x4 eingezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an. [0 / 1 Punkt]
- Aussage 1: Der Differenzenquotient für das Intervall [x1; x2] ist kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle x1.
- Aussage 2: Der Differenzenquotient für das Intervall [x1; x3] ist kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle x3.
- Aussage 3: Der Differenzenquotient für das Intervall [x1; x4] ist kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle x2.
- Aussage 4: Der Differenzenquotient für das Intervall [x2; x4] ist größer als der Differenzialquotient an der Stelle x2.
- Aussage 5: Der Differenzenquotient für das Intervall [x3; x4] ist größer als der Differenzialquotient an der Stelle x4.
Lösungsweg
Der Differenzenquotient entspricht grafisch der Steigung der Sekante, also der Verbindungsgeraden zweier Punkte auf der Funktion
- [x1; x2]
- [x1; x3]
- [x1; x4]
- [x2; x4]
- [x3; x4]
Der Differenzialquotient entspricht grafisch der Steigung der Tangente im betrachteten Punkt
- x1
- x2
- x3
- x4
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge wir folgt:
Auf dieser Basis können wir die 5 Aussagen wie folgt bewerten:
- Aussage 1: Falsch, weil die Steigung an der Stelle x1 ist kleiner (die Tangente fällt stärker) als die Sekante zwischen x1 und x2
- Aussage 2: Richtig, weil die Steigung an der Stelle x3 ist größer (die Tangente steigt stärker) als die Sekante zwischen x1 und x3
- Aussage 3: Falsch, weil die Steigung an der Stelle x2 ist kleiner (die Tangente steigt weniger stark) als die Sekante zwischen x1 und x4
- Aussage 4: Richtig, weil die Steigung an der Stelle x2 ist kleiner (die Tangente steigt weniger stark) als die Sekante zwischen x2 und x4
- Aussage 5: Falsch, weil die Steigung an der Stelle x4 ist größer(die Tangente steigt stärker) als die Sekante zwischen x3 und x4
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.