Aufgabe 1750
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Es sei \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) eine Polynomfunktion und \(a,b \in {\Bbb R}{\text{ mit }}a < b\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass jedenfalls eine korrekte Aussage entsteht. [0 / 1 Punkt]
Wenn für alle \(x \in \left( {a;b} \right)\) gilt ____1____ , dann ist die Funktion f im Intervall (a; b) ____2____
1 | |
\(f\left( x \right) > 0\) | A |
\(f'\left( x \right) < 0\) | B |
\(f''\left( x \right) > 0\) | C |
2 | |
streng monoton fallend | a |
rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt) | b |
streng monoton steigend | c |
Lösungsweg
Bei diesem Beispiel kommen die Regeln des grafischen Differenzierens zur Anwendung.
Analysieren wir die Aussagen wie folgt:
- Aussage A: \(f\left( x \right) > 0\): Besagt lediglich, dass alle Funktionswerte positiv, also oberhalb der x-Achse liegen → Das hilft uns bezüglich steigen/fallen bzw. rechtskrümmung der Funktion selbst nicht weiter
- Aussage B: \(f'\left( x \right) < 0\) : Besagt, dass die 1. Ableitung der Funktion unterhalb der x-Achse liegt → f(x) muss daher "streng monoton fallend" sein → B ⇔ a
- Aussage C: \(f''\left( x \right) > 0\): Ist f''(x) > 0, wird die Steigung größer, der Graph der Funktion ist daher linksgekrümmt (positiv gekrümmt bzw. konvex)
Wenn für alle \(x \in \left( {a;b} \right)\) gilt \(f'\left( x \right) < 0\) , dann ist die Funktion f im Intervall (a; b) streng monoton fallend
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wenn für alle \(x \in \left( {a;b} \right)\) gilt \(f'\left( x \right) < 0\) , dann ist die Funktion f im Intervall (a; b) streng monoton fallend
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.