Aufgabe 1773
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Pflanze
Zu Beginn eines dreiwöchigen Beobachtungszeitraums ist eine bestimmte Pflanze 15 cm hoch. Die momentane Änderungsrate der Höhe dieser Pflanze wird durch die Funktion v in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben. Dabei gilt:
\(v\left( t \right) = 3 - 0,3 \cdot {t^2}{\text{ mit }}t \in \left[ {0;3} \right]\) in Wochen und v(t) in cm/Woche
Die Funktion h ordnet jedem Zeitpunkt t ∈ [0; 3] die Höhe h(t) der Pflanze zu (t in Wochen, h(t) in cm).
Aufgabenstellung:
Geben Sie h(t) an.
h(t) =
Lösungsweg
Die Gleichung für die Änderungsrate der Höhe v(t) ist gegeben. Weiters kennen wir noch den Anfangswert mit h=15 cm.
Die momentane Änderungsrate entspricht dem Differentialquotienten. Wir gehen analog vor, als hätten wir die Geschwindigkeit und wollen den zurückgelegten Weg berechnen:
\(\eqalign{ & h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,\,\operatorname{dt} = \cr & = \int {\left( {3 - 0,3 \cdot {t^2}} \right)} \,\,dt = \cr & = \int {3\,\,dx - 0,3 \cdot \int {{t^2}\,\,\operatorname{dt} = } } \cr & = 3 \cdot t - 0,3 \cdot \dfrac{{{t^3}}}{3} + c = \cr & = - 0,1 \cdot {t^3} + 3 \cdot t + c \cr} \)
Die Konstante c können wir aus der Anfangsbedingung durch einsetzen in obige Gleichung wie folgt bestimmen:
\(h\left( 0 \right) = 15 = c\)
Somit lautet die gesuchte Stammfunktion:
\(h\left( t \right) = - 0,1 \cdot {t^3} + 3 \cdot t + 15\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(h\left( t \right) = - 0,1 \cdot {t^3} + 3 \cdot t + 15\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Losung sind ebenfalls als richtig zu werten.