Aufgabe 1775
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich bestimmter Integrale
Gegeben sind fünf Abbildungen mit Graphen von Polynomfunktionen.
- Graph 1:
Bild
- Graph 2:
Bild - Graph 3:
Bild - Graph 4:
Bild - Graph 5:
Bild
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, für die gilt:
\(\int\limits_{ - 5}^{ - 1} {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_{ - 5}^{ + 1} {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Lösungsweg
Man kann die rechte Seite der Gleichung in 2 Intervalle auftrennen, wo der 1. Summand identisch ist zur linken Seite der Gleichung:
\(\eqalign{ & \int\limits_{ - 5}^{ - 1} {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_{ - 5}^{ + 1} {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & \int\limits_{ - 5}^{ - 1} {f\left( x \right)} \,\,dx > \int\limits_{ - 5}^{ - 1} {f\left( x \right)} \,\,dx + \int\limits_{ - 1}^{ + 1} {f\left( x \right)} \,\,dx \cr} \)
Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.
Wir vergleichen nun den Term auf der linken Seite der Ungleichung mit den beiden Termen auf der rechten Seite und können daraus eine Aussage ableiten, ob die Ungleichung erfüllt ist oder ob nicht:
- Graph 1:
Linke Seite: Term =positiv;
Rechte Seite: 1. Term = positiv, 2. Term = negativ
→ wahre Aussage
- Graph 2:
Linke Seite: Term =positiv;
Rechte Seite: 1. Term = positiv, 2. Term = positiv
→ falsche Aussage
- Graph 3:
Linke Seite: Term =positiv;
Rechte Seite: 1. Term = positiv, 2. Term = positiv
→ falsche Aussage
- Graph 4:
Linke Seite: Term =negativ;
Rechte Seite: 1. Term = negativ, 2. Term = positiv
→ falsche Aussage
- Graph 5:
Linke Seite: Term =negativ;
Rechte Seite: 1. Term = negativ, 2. Term = negativ
→ wahre Aussage weil der linke Term weniger stark negativ und somit größer als der rechte Term ist
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
- Illustration 1: Richtig
- Illustration 2: Falsch
- Illustration 3: Falsch
- Illustration 4: Falsch
- Illustration 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Abbildungen angekreuzt sind.