Aufgabe 1796
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bakterienkultur
Es wird die Anzahl der Bakterien in einer Bakterienkultur in Abhängigkeit von der Zeit t untersucht. Die Anzahl der Bakterien in dieser Bakterienkultur nimmt jede Minute um den gleichen Prozentsatz zu. In den unten stehenden Gleichungen ist N(t) die Anzahl der Bakterien in dieser Bakterienkultur zum Zeitpunkt t (in Minuten) und k ∈ (0; 1) eine reelle Zahl.
- Gleichung 1: \(N\left( {t + 1} \right) - N\left( t \right) = - k \cdot N\left( t \right)\)
- Gleichung 2: \(N\left( {t + 1} \right) - N\left( t \right) = k\)
- Gleichung 3: \(N\left( {t + 1} \right) - N\left( t \right) = k \cdot N\left( t \right)\)
- Gleichung 4: \(N\left( {t + 1} \right) = k \cdot N\left( t \right)\)
- Gleichung 5: \(N\left( {t + 1} \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {1 + k} \right)\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die Anzahl der Bakterien nimmt jede Minute um den gleichen Prozentsatz zu. Es handelt sich also um ein kontinuierlichen exponentiellen Wachstumsmodell, den dabei ist die mittlere Änderungsrate proportional zum jeweils aktuellen Wert. Die allgemeine Gleichung dafür lautet:
\(y\left( t \right) = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^t}\)
mit t=1 und auf N statt y umgeschrieben gilt:
\({\text{N}}\left( {t + 1} \right) = N\left( t \right) \cdot {\left( {1 + k} \right)^1}\)
Dies entspricht exakt der Gleichung 5, die somit eine wahre Aussage ist.
Wenn man den Klammerausdruck auf der rechten Seite der Gleichung ausmultipliziert und die Gleichung umformt, so erhält man die Gleichung 3, die somit die 2. gesuchte wahre Aussage ist.
\(\eqalign{
& {\text{N}}\left( {t + 1} \right) = N\left( t \right) \cdot {\left( {1 + k} \right)^1} \cr
& {\text{N}}\left( {t + 1} \right) = N\left( t \right) + k \cdot N\left( t \right) \cr
& {\text{N}}\left( {t + 1} \right) - N\left( t \right) = k \cdot N\left( t \right) \cr} \)
Wir verwenden folgende Sprachregelung: N(t) = alter (vorhergehender) Wert; N(t+1) = neuer Wert
- Gleichung 1: Falsch, weil wenn der neue Wert (N(t+1) minus dem alten Wert N(t) negativ ist, dann handelt es sich nicht um ein Wachstum, sondern um eine Abnahme (Zerfall)
- Gleichung 2: Falsch, weil wenn der neue Wert (N(t+1) minus dem alten Wert N(t) konstant ist, dann handelt es sich um eine Funktion die linear zunimmt und nicht um eine Funktion die je Minute um einen Prozentsatz, also Exponentiell zunimmt
- Gleichung 3: Richtig. Begründung siehe oben
- Gleichung 4: Falsch, weil wenn der alte Wert (Nt) mit einer Zahl k ∈ (0; 1) multipliziert wird, dann ist der neue Wert kleiner. Dann handelt es sich nicht um ein Wachstum, sondern um eine Abnahme um einen konstanten Faktor.
- Gleichung 5: Richtig. Begründung siehe oben
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Gleichung 1: Falsch
- Gleichung 2: Falsch
- Gleichung 3: Richtig
- Gleichung 4: Falsch
- Gleichung 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Gleichungen angekreuzt sind.