Aufgabe 1797
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto f\left( x \right)\)
Die Funktion
\(g:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto g\left( x \right)\)ist eine Stammfunktion von f.
Für eine Funktion
\(h:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto h\left( x \right){\text{ und }}c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt
\(h\left( x \right) = g\left( x \right) + c\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob h ebenfalls eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die Funktion g ist laut Angabe eine Stammfunktion von der Funktion f. Ebenfalls laut Angabe unterscheiden sich die beiden Funktionen g(x) und h(x) lediglich um die Konstante c.
→ Ja, h ist ebenfalls eine Stammfunktion von f.
Bei c handelt es sich um die sogenannte Integrationskonstante. Ist g(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen \(g\left( x \right) + c = h\left( x \right)\) ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen dürfen sich durch eine additive Konstante c unterscheiden, da eine Konstante bei Differenzieren wegfällt und somit gilt:
\(h'\left( x \right) = g'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Ja, h ist ebenfalls eine Stammfunktion von f. Mögliche Begründungen sind:
- Zwei differenzierbare Funktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden, haben die gleiche Ableitung.
- Für alle \(x \in {\Bbb R}{\text{ gilt: }}h'\left( x \right) = g'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Entscheidung und eine richtige Begründung.