Aufgabe 1798
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades \(f:{\text{ }}x \mapsto f\left( x \right)\) dargestellt. Die x-Achse ist nicht eingezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die dargestellte Polynomfunktion f bei jeder Lage der x-Achse zutreffen.
- Aussage 1: Es gibt genau zwei Stellen x1 und x2 mit \(f\left( {{x_1}} \right) = 0{\text{ und }}f\left( {{x_2}} \right) = 0\)
- Aussage 2: Es gibt genau zwei Stellen x1 und x2 mit \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0{\text{ und }}f'\left( {{x_2}} \right) = 0\)
- Aussage 3: Es gibt genau eine Stelle x1 mit \(f''\left( {{x_1}} \right) = 0\)
- Aussage 4: Es gibt genau eine Stelle x1 mit \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_1}} \right) > 0\)
- Aussage 5: Es gibt genau eine Stelle x1 mit \(f'\left( {{x_1}} \right) > 0{\text{ und }}f''\left( {{x_1}} \right) = 0\)
Lösungsweg
Wir überprüfen die 5 Aussagen unter Zuhilfenahme der Regeln für die Zusammenhänge zwischen höheren Ableitungen wie folgt:
- Aussage 1: Falsch, weil Polynomfunktionen 4. Grades keine Nullstellen haben müssen. Das ist dann der Fall, wenn die x-Achse oberhalb von den beiden Hochpunkten verläuft
- Aussage 2: Falsch, weil es nicht genau 2 sondern genau 3 Stellen gibt, an denen die erste Ableitung der Funktion Null ist und somit die Tangente an die Funktion horizontal verläuft: Das sind die 2 Hochpunkte und der lokale Tiefpunkt.
- Aussage 3: Falsch, weil es nicht einen sonder zwei Stellen gibt, an denen die Funktion einen Wendepunkt hat und die zweite Ableitung daher Null sein muss.
- Aussage 4: Richtig, weil es genau einen lokalen Tiefpunkt gibt und am Tiefpunkt die 1. Ableitung Null ist und die 2. Ableitung größer Null ist.
- Aussage 5: Richtig, weil am rechten Wendepunkt (zufolge \(f''\left( {{x_1}} \right) = 0\) ) die Funktion streng monoton wachsend ist (zufolge \(f'\left( {{x_1}} \right) > 0\))
Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge dient folgende Illustration:
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.