Aufgabe 1818
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Messung der Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t wird durch eine differenzierbare Funktion v modelliert (t in s, v(t) in m/s). Die Messung der Geschwindigkeit v(t) beginnt zum Zeitpunkt t = 0. Betrachtet wird der Grenzwert
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \dfrac{{v\left( t \right) - v\left( 3 \right)}}{{t - 3}}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die den betrachteten Grenzwert richtig beschreiben.
- Aussage 1: Der Grenzwert gibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit des Körpers 3 Sekunden nach Beginn der Messung an.
- Aussage 2: Der Grenzwert gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [0; 3] an.
- Aussage 3: Der Grenzwert gibt die momentane Beschleunigung des Körpers 3 Sekunden nach Beginn der Messung an.
- Aussage 4: Der Grenzwert gibt die relative Änderung der Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [0; 3] an.
- Aussage 5: Der Grenzwert gibt den vom Körper in den ersten 3 Sekunden zurückgelegten Weg an.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Der vorliegende Grenzwert bezieht sich auf den ganz konkreten diskreten Zeitpunkt t→3. Obwohl der Bruch nach einem Differenzenquotienten aussieht, ist er das nicht, weil die beiden Werte v(t) bei t→ 3 und v(t=3) unendlich nahe beisammen liegen.
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig, weil der Grenzwert die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=3 angibt
- Aussage 2 : Falsch, weil es der Differenzenquotient wäre, welcher die durchschnittliche Geschwindigkeit angibt. Für eine durchschnittliche Geschwindigkeit braucht man den Wert am Anfang und am Ende der Messung, ebenso wie es das in der Aussage angegebene Intervall [0; 3] suggeriert, doch das kommt im Grenzwert ja gar nicht vor.
- Aussage 3: Richtig, weil es die momentane Änderungsrate einer Geschwindigkeit die momentane Beschleunigung ist. Beschleunigung ist physikalisch die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit
- Aussage 4: Falsch, weil es beim Grenzwert nicht um das Zeitintervall [0; 3] geht, sondern um den diskreten Zeitpunkt t=3
- Aussage 5: Falsch, weil der Weg nicht der Grenzwert der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t→ 3 ist, sondern das Integral \(s\left( t \right) = \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt\) ist.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.