Aufgabe 1820
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Sonnenblume
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume wurde über einige Wochen jeweils zu Wochenbeginn gemessen. Zum Messbeginn t = 0 hatte die Sonnenblume die Höhe H0 = 5 cm.
Für jeden Zeitpunkt t (mit 0 ≤ t ≤ 5) gibt Ht die Höhe der Sonnenblume an. Die nachstehende Tabelle zeigt die (gerundeten) Messergebnisse für die Höhe der Sonnenblume für die ersten 5 Wochen.
Zeit t (in Wochen nach Messbeginn) |
Höhe der Sonnenblume Ht (in cm) |
1 | 36 |
2 | 68 |
3 | 98 |
4 | 128 |
5 | 159 |
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die absolute wöchentliche Zunahme der Höhe der Sonnenblume ist _____1_____ ; die Hohe der Sonnenblume Ht kann daher näherungsweise durch eine Differenzengleichung der Form _____2_____ beschrieben werden.
- Aussage 1: immer geringer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 2: immer größer als jene in der jeweils vorangegangenen Woche
- Aussage 3: annähernd konstant
- Gleichung 1: \({H_{t + 1}} = {H_t} \cdot \left( {1 + k} \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 2: \({H_{t + 1}} = {H_t}{\text{ + k mit }}k \in {\Bbb R}\)
- Gleichung 3: \({H_{t + 1}} = {H_t} + r \cdot \left( {k - {H_t}} \right){\text{ mit }}k,r \in {\Bbb R}{\text{ und }}0 < r < 1\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir erweitern die Tabelle um die „absolute wöchentliche Höhenzunahme“
Zeit t (in Wochen nach Messbeginn) |
Höhe der Sonnenblume Ht (in cm) |
absolute wöchentliche Höhenzunahme (in cm) |
1 | 36 | 36-5=31 |
2 | 68 | 68-36=32 |
3 | 98 | 98-68=30 |
4 | 128 | 128-98=30 |
5 | 159 | 159-128=31 |
… und sehen, dass Höhenwachstum annähernd konstant bei 31cm/Woche ist.
- Gleichung 1: Keine Option, da so ein exponentielles Wachstum modelliert wird, gemäß: \({y_{n + 1}} = {y_n} \cdot \left( {1 + k} \right)\)
- Gleichung 2: Richtig, weil Ht=5 und k=31 eine gute Modellation für das Wachstum zwischen je 2 aufeinander folgenden Wochen ist. Es handelt sich dabei um ein kontinuierliches lineares Wachstumsmodell gemäß: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\)
- Gleichung 3: Keine Option, weil so ein diskretes logistisches Wachstum modelliert wird, gemäß: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\). Beim diskreten logistischen Wachstumsmodell ist die absolute Änderung je Schritt proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die absolute wöchentliche Zunahme der Höhe der Sonnenblume ist annähernd konstant; die Hohe der Sonnenblume Ht kann daher näherungsweise durch eine Differenzengleichung der Form \({H_{t + 1}} = {H_t}{\text{ + k mit }}k \in {\Bbb R}\) beschrieben werden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist. Ist nur für eine der beiden Lücken der richtige Satzteil angekreuzt, ist ein halber Punkt zu geben.