Aufgabe 1821
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktionen
Gegeben ist eine Stammfunktion F einer Polynomfunktion f: ℝ → ℝ.
Aufgabenstellung:
Zwei der nachstehenden Funktionen G1 bis G5 sind für alle c ∈ ℝ\{0} jedenfalls auch Stammfunktionen von f. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Funktionen an.
- Aussage 1: \({G_1} = c \cdot F\)
- Aussage 2: \({G_2} = c + F\)
- Aussage 3: \({G_3} = F - c\)
- Aussage 4: \({G_4} = c - F\)
- Aussage 5: \({G_5} = \dfrac{F}{c}\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Der Angabe entnehmen wir, das F eine Stammfunktion von f ist und wir sollen zwei weitere Funktionen aus G1 bis G5 auswählen, die ebenfalls eine Stammfunktion von f sind.
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Ob diese Konstante nun positiv oder negativ ist, ändert nur etwas an der Richtung der Parallelverschiebung längs der y-Achse, der zufolge die Graphen aller Stammfunktionen in einander übergehen.
- Aussage 1: Falsch, weil c eine multiplikative Konstante ist und alle Koeffizienten der Funktion ändert
- Aussage 2: Richtig, weil c eine additive Konstante ist \(c + F = F + c\)
- Aussage 3: Richtig, c eine negative additive Konstante ist \(F - c = F + \left( { - c} \right)\)
- Aussage 4: Falsch, weil das Minuszeichen vor der Stammfunktion alle Rechenzeichen in der Stammfunktion invertiert \( - \left( {ax - b} \right) = - ax + b\), was einer Spiegelung der Funktion um die x-Achse entspricht
- Aussage 5: Falsch, weil c ein Dividend ist und alle Koeffizienten der Funktion ändert
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Funktionen angekreuzt sind.