Aufgabe 1844
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Karpfen
Die Anzahl der Karpfen in einem Teich soll auf 800 Karpfen beschränkt sein. Modellhaft wird angenommen, dass der Karpfenbestand in jedem Jahr um 7 % der Differenz zum maximalen Karpfenbestand von 800 Karpfen zunimmt. Die Anzahl der Karpfen nach n Jahren wird mit F(n) bezeichnet. Es gilt: F(0) = 500.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Differenzengleichung an, die die Entwicklung des Karpfenbestands zutreffend beschreibt.
- Differenzengleichung 1:
\(F\left( {n + 1} \right) = F\left( n \right) + 0,07 \cdot \left( {800 - F\left( n \right)} \right)\)
- Differenzengleichung 2:
\(F\left( n \right) = F\left( {n + 1} \right) + 0,07 \cdot \left( {800 - F\left( {n + 1} \right)} \right)\)
- Differenzengleichung 3:
\(F\left( {n + 1} \right) = F\left( n \right) + 1,07 \cdot \left( {800 - F\left( n \right)} \right)\)
- Differenzengleichung 4:
\(F\left( {n + 1} \right) = F\left( n \right) + 0,07 \cdot \left( {F\left( n \right) - 800} \right)\)
- Differenzengleichung 5:
\(F\left( {n + 1} \right) = 800 - 0,07 \cdot F\left( n \right)\)
- Differenzengleichung 6:
\(F\left( n \right) = 800 - 0,07 \cdot F\left( {n + 1} \right)\)
[1 aus 6]
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Entscheidend bei dieser Aufgabe ist, dass der Zuwachs nicht 7% beträgt, sondern von der Differenz des aktuellen Stands zur Sättigungsmenge von 800 Karpfen abhängt. Wir stellen folgende Überlegungen an:
-
Am Anfang der Betrachtung sind 500 Karpfen im Teich.
-
Nach 1 Jahr steigt der Bestand um \(\left( {800 - 500} \right) \cdot 0,07 = 21\) auf \(\left( {500 + 21} \right) = 521\)
-
Nach 2 Jahren steigt der Bestand um \(\left( {800 - 521} \right) \cdot 0,07 = 20\) auf \(\left( {521 + 20} \right) = 541\)
-
Nach 3 Jahren steigt der Bestand um \(\left( {800 - 540,53} \right) \cdot 0,07 = 18\) auf \(\left( {541 + 18} \right) = 559\)
Die Rechenregel lautet somit:
Die Anzahl der Karpfen im neuen Jahr F(n+1) ergibt sich aus der Anzahl der Karpfen im alten Jahr F(n) plus einer Zunahme von 7% aus der Differenz von 800 Karpfen und der Anzahl an Karpfen im alten Jahr 0,07*(800-F(n)). Das entspricht der Aussage 1, die somit richtig ist.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.