Aufgabe 1892
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zeit-Geschwindigkeit-Funktion
Für die Bewegung eines bestimmten Körpers gibt v(t) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (t in s, v(t) in m/s). Der Graph von v ist im Zeitintervall [0; 30] in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Unten stehend sind Aussagen über die Zeit-Weg-Funktion s und die Zeit-Beschleunigung- Funktion a für diese Bewegung angeführt (t in s, s(t) in m, a(t) in m/s2).
- Aussage 1: Es gilt: s(10) < 10.
- Aussage 2: Es gibt einen Zeitpunkt t0 ∈ [0; 30] mit a(t0) = 0.
- Aussage 3. Zum Zeitpunkt t = 15 ist die Beschleunigung maximal.
- Aussage 4: Es gilt: s(30) – s(0) > 300.
- Aussage 5: Für alle t1, t2 ∈ [0; 30] mit t2 > t1 gilt: s(t2) > s(t1).
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
Lösungsweg
Wir skizzieren in die Illustration mit der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion noch die Weg-Zeit-Funktion und die Beschleunigung-Zeit-Funktion dazu. Dazu bedienen wir uns folgendem Zusammenhang:
\(\begin{array}{l} s(t) = \int {v\left( t \right)} \,dt\\ a\left( t \right) = \dfrac{{dv}}{{dt}} \end{array}\)
Da der Graph der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ist eine Parabel, also eine Funktion 2. Grades, muss für die beiden gesuchten Graphen wie folgt gelten:
- Weg: Integriert man eine Funktion 2. Grades, erhält man eine Funktion 3. Grades, deren Graph s-förmig verläuft. s(t) verläuft zunehmen steigend, hat dann bei t=15 einen Wendepunkt und steigt danach weiter, aber zunehmend weniger stark, bis er dann bei t=30 nicht mehr stiegt, der Graph also in eine Horizontale übergeht. Diese Horizontale liegt bei s=220m und ist daher in unten eingefügter Illustration auf Grund des Maßstabs nicht mehr sichtbar
- Beschleunigung: Differenziert man eine Funktion 2. Grades, erhält man eine Funktion 1. Grades, deren Graph eine fallende Gerade ist. Im Bereich zunehmender Geschwindigkeit liegt der Graph der Beschleunigung über der x-Achse, dort wo der Graph der Geschwindigkeit eine horizontale Tangente hat (Hochpunkt) ist die Beschleunigung null, danach liegt der Graph der Beschleunigung unter der x-Achse.
Somit können wir die 5 Aussagen wir folgt beantworten
- Aussage 1: Falsch, weil s mit der 3. Potenz steigt, muss gelten s(10) >> 10
- Aussage 2: Richtig, weil für die Beschleunigung a(t=15)=0 gilt
- Aussage 3: Falsch,weil für die Beschleunigung a(t=15)=0 gilt
- Aussage 4: Falsch, weil der zurückgelegte Weg der Fläche unter dem Graph der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion entspricht. Wir können eine Obergrenze für diese Fläche angeben, indem wir sie mit einem Rechteck einfassen. Die Fläche vom Rechteck schätzen wir mit \({A_{{\rm{Rechteck}}}} = b \cdot h = 30 \cdot 10 = 300\). Dh die Fläche unter dem Graph der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion muss erheblich kleiner als 300 sein.
- Aussage 5: Richtig, weil s(t) stetig steigend ist, muss immer der nachfolgende Wert s(t2) größer als der vorhergehende Wert s(t1) sein.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.