Aufgabe 1082
AHS - 1_082 & Lehrstoff: FA 1.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schnittpunkte
In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen zweier Funktionen mit den Gleichungen \({f_1}\left( x \right) = \dfrac{a}{x};\,\,\,a > 1\) und \({f_2}\left( x \right) = \dfrac{a}{{{x^2}}};\,\,\,\,a > 1\) dargestellt.
- Aussage 1: \(S = \left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
- Aussage 2: \(S = \left( {a\left| 1 \right.} \right)\)
- Aussage 3: \(S = \left( {1\left| a \right.} \right)\)
- Aussage 4: \(S = \left( {a\left| a \right.} \right)\)
- Aussage 5: \(S = \left( {0\left| a \right.} \right)\)
- Aussage 6: \(S = \left( {1\left| {\dfrac{1}{a}} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welcher der oben angegebenen Punkte gibt die Koordinaten des Schnittpunktes korrekt an? Kreuzen Sie den zutreffenden Punkt an!
Lösungsweg
Der Schnittpunkt zweier Funktionen muss beide Funktionsgleichungen erfüllen, dh wir setzen f1=f2. Wir setzen die beiden Funktionsgleichungen gleich:
\(\eqalign{ & \frac{a}{x} = \frac{a}{{{x^2}}}\,\,\,\,\,\left| {{x^2}} \right. \cr & \frac{a}{x} \cdot {x^2} = a\,\,\,\,\,\left| x \right. \cr & a \cdot {x^2} = a \cdot x\,\,\,\,\,\left| { - a \cdot x} \right. \cr} \)
Achtung: An dieser Stelle wäre es verlockend durch x zu dividieren. Damit würden wir aber aus einer quadratischen Gleichung (x2) eine lineare Gleichung (x) machen und somit eine der beiden Lösungen verlieren... Daher subtrahieren wir, und erhalten:
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} - a \cdot x = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} - x = 0 \cr & x \cdot \left( {x - 1} \right) = 0 \cr & {x_1} = 0 \cr & {x_2} = 1 \cr} \)
Erwartungsgemäß hat die quadratische Gleichung also 2 Lösungen für x. Die Lösung x1=0 können wir mit einem Blick auf die Illustration aber ausschließen, somit bleibt nur x2=1 als Lösung.
Wir setzen nun x=1 in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und erhalten a.
\(\eqalign{ & {f_1}\left( {x = 1} \right) = \frac{a}{x} = \frac{a}{1} = a \cr & {\text{Probe: }}{f_2}\left( {x = 1} \right) = \dfrac{a}{{{x^2}}} = \dfrac{a}{{{1^2}}} = a \cr} \)
Somit können wir die Koordinaten vom Schnittpunkt anschreiben:
\(S = \left( {1\left| a \right.} \right)\)
Für die 5 Aussagen ergibt sich somit:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die eine zutreffende Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.