Aufgabe 1123
AHS - 1_123 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion
Es sind die Graphen von vier Polynomfunktionen gegeben
Funktion A | \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x\) |
Funktion B | \(f\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + 2x\) |
Funktion C | \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\) |
Funktion D | \(f\left( x \right) = - {x^4} + 4{x^2}\) |
Funktion E | \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3}\) |
Funktion F | \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) |
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den obigen Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!
Deine Antwort | |
Graph 1 | |
Graph 2 | |
Graph 3 | |
Graph 4 |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Grad einer Polynomfunktion
- Für jede Extremstelle erhöht sich der Grad der Polynomfunktion von 1 um +1
- Für jeden Sattelpunkt oder jeden Wendepunkt erhöht sich der Grad der Polynomfunktion zusätzlich um +2
Lösungsweg
- Graph 1: Der Graph 1 hat 2 Extremstellen, der Grad der Funktion muss daher 1+2=3 sein. Damit kommen die Funktionen B und F in Frage
- Die Funktionswerte sind für x < 0 stark negativ (→ wir müssen daher nur das "dominante" x3 untersuchen): Bei Funktion B ist f(x<<0)=positiv, bei Funktion F ist f(x<<0) negativ ⇒ Funktion F
- Graph 2: Der Graph 2 hat 1 Extremstellen, der Grad der Funktion muss daher 1+1=2 sein. Damit kommen die Funktionen A und C in Frage
- quadratischer Term: Beide Funktionen haben a >0 und entsprechend den Scheitelpunkt als Tiefpunkt. Das hilft uns nicht weiter
- linearer Term: Beide Funktionen haben \(b \ne 0\) und daher den Scheitelpunkt nicht auf der y-Achse. Das hilft uns nicht weiter
- konstanter Term: Der Graph 2 verläuft durch den Ursprung, daher muss der konstante Term c = 0 sein. Daher muss Funktion A die richtige Lösung sein.
- Graph 3: Der Graph 3 hat 3 Extremstellen, der Grad der Funktion muss daher 1+3=4 sein. Damit kommen die Funktionen D und E in Frage
- Die Funktionswerte kommen aus minus Undedlich und gehen nach plus Unendlich. Dh es muss vor dem "dominanten" x4 ein negatives Vorzeichen stehen ⇒ Funktion D
- Graph 4: Der Graph 4 hat 2 Extremstellen, der Grad der Funktion muss daher 1+2=3 sein. Damit kommen die Funktionen B und F in Frage.
- Die Funktionswerte sind für x < 0 stark positiv (→ wir müssen daher nur das "dominante" x3 untersuchen): Bei Funktion B ist f(x<<0)=positiv, bei Funktion F ist f(x<<0) negativ ⇒ Funktion B
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph 1: Funktion F
- Graph 2: Funktion A
- Graph 3: Funktion D
- Graph 4: Funktion B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.