Aufgabe 11253
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kosten eines Betriebs
Die Funktion K mit
\(K\left( x \right) = 100 \cdot {x^3} - 1800 \cdot {x^2} + 11200 \cdot x + 20000\)
gibt die Gesamtkosten in Euro an, die für einen Betrieb bei der Erzeugung von x (in Tonnen) eines bestimmten Produkts entstehen.
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diejenige Produktionsmenge (in Tonnen), bei der die Gesamtkosten um € 48.000 höher als die Fixkosten sind.
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Lösungsweg
Wir können die Gesamtkosten in von der Produktionsmenge abhängige variable Kosten und in von der Produktionsmenge unabhängige Fixkosten wie folgt zerlegen:
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = 100 \cdot {x^3} - 1800 \cdot {x^2} + 11200 \cdot x + 20000 \cr & {K_v}\left( x \right) = 100 \cdot {x^3} - 1800 \cdot {x^2} + 11200 \cdot x \cr & {K_F} = 20000 \cr} \)
Wir müssen also die Produktionsmenge berechnen, bei der wie folgt gilt:
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = 100 \cdot {x^3} - 1800 \cdot {x^2} + 11200 \cdot x + 20000 = 68000 \cr & 100 \cdot {x^3} - 1800 \cdot {x^2} + 11200 \cdot x + 20000 = 68000 \cr & {x_1} = 12 \cr & \left( {{x_{2,3}} = 3 \pm i\sqrt {31} } \right) \cr & \cr & {\text{Probe:}} \cr & 100 \cdot {12^3} - 1800 \cdot {12^2} + 11200 \cdot 12 + 20000 = 68000\,\,\,{\text{wzbw}}. \cr} \)
→ Bei einer Produktionsmenge von 12 Tonnen sind die Gesamtkosten um € 48.000 höher als die Fixkosten.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Bei einer Produktionsmenge von 12 Tonnen sind die Gesamtkosten um € 48.000 höher als die Fixkosten.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Produktionsmenge.