Aufgabe 1248
AHS - 1_248 & Lehrstoff: FA 1.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kosten- und Erlösfunktion
Die Herstellungskosten eines Produkts können annähernd durch eine lineare Funktion K mit \(K\left( x \right) = 392 + 30x\) beschrieben werden. Beim Verkauf dieses Produkts wird ein Erlös erzielt, der annähernd durch die quadratische Funktion E mit \(E\left( x \right) = - 2 \cdot {x^2} + 100x\) angegeben werden kann. x gibt die Anzahl der produzierten und verkauften Einheiten des Produkts an.
Aufgabenstellung
Ermitteln Sie die x-Koordinaten der Schnittpunkte dieser Funktionsgraphen und interpretieren Sie diese im gegebenen Zusammenhang!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wie immer wenn es darum geht den Schnittpunkt zweier Funktionen zu bestimmen, setzen wir die beiden Terme gleich
Lösungsweg
\(K\left( x \right) = 392 + 30x\)
\(E\left( x \right) = - 2 \cdot {x^2} + 100x\)
\(\eqalign{ & 392 + 30 \cdot x = - 2 \cdot {x^2} + 100x\,\,\,\,\,\,\,\left| { - 392 - 30x} \right. \cr & - 2 \cdot {x^2} + 70 \cdot x - 392 = 0\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2} \right)} \right. \cr & {x^2} - 35x + 196 = 0 \cr} \)
Gemäß der Formel für die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Unbekannten gilt:
\({x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} \)
mit p=-35 und q=196
\(\eqalign{ & {x_{1,2}} = - \frac{{ - 35}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 35}}{2}} \right)}^2} - 196} = 17,5 \pm \sqrt {306,25 - 196} = 17,5 \pm 10,5 \cr & {x_1} = 17,5 + 10,5 = 28 \cr & {x_2} = 17,5 - 10,5 = 7 \cr} \)
Damit haben wir die beiden Lösungen ermittelt.
Obwohl nur die beiden x-Werte gesucht sind, können wir mit einer einfachen Rechnung die y-Werte berechnen und somit die beiden Schnittpunkte anschreiben:
\(\eqalign{ & K(x = 7) = 392 + 30 \cdot 7 = 602\,\,\,\,\, \Rightarrow {S_1}(7\left| {602)} \right. \cr & K(x = 28) = 392 + 30 \cdot 28 = 1232\,\,\,\,\, \Rightarrow {S_2}(28\left| {1232)} \right. \cr} \)
Ebenfalls nicht gefragt, aber zur Veranschaulichung recht nützlich, ist die nachfolgende Illustration:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
x1=28; x2=7
Bei der Herstellung und dem Verkauf von 7 (bzw. 28) Stück des Produkts sind die Herstellungskosten genauso hoch wie der Erlös. Das heißt, in diesen Fällen wird weder ein Gewinn noch ein Verlust erzielt.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn die beiden x-Werte und eine sinngemäß richtige Interpretation angegeben sind.