Aufgabe 1275
AHS - 1_275 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Insektenvermehrung
Eine Insektenanzahl vermehrt sich wöchentlich um 25 %. Ein Forscher behauptet, dass sich die Insektenanzahl alle 4 Wochen verdoppelt.
Aufgabenstellung:
Beurteilen Sie, ob diese Behauptung richtig oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Endkapital Kn gesucht: Aufzinsung gemäß Leibniz‘scher Zinseszinsformel
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
K0 | Anfangskapital |
Kn | Endkapital |
p | Jahreszins in Prozent |
Dient zur Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital Kn man erhalten wird, wenn man das Anfangskapital K0 bei einem Zinssatz von p% für n Jahren anlegt.
Lösungsweg
Egal, ob Insekten oder Euro "mehr" werden ...
In Anlehnung an die Formel für die Aufzinsung gemäß der Leibniz‘scher Zinseszinsformel können wir einen exponentiellen Zusammenhang wir folgt formulieren:
\(\eqalign{ & {N_n} = {N_0} \cdot {\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)^n} \cr & p = 25 \cr & n = 4 \cr & {N_4} = {N_0} \cdot {\left( {1 + \frac{{25}}{{100}}} \right)^4} = {N_0} \cdot {1,25^4} = {N_0} \cdot 2,4414 \cr} \)
Die Behauptung ist falsch, da die Insektenanzahl in 4 Wochen vom Startwert (also 100%) um 144 % auf 244% zunimmt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Behauptung ist falsch, da die Insektenanzahl in 4 Wochen vom Startwert (also 100%) um 144 % auf 244% zunimmt.
Lösungsschlüssel:
Auch andere sinngemäß richtige Begründungen, die sich auf exponentielles Wachstum stützen, sind zulässig.