Aufgabe 1277
AHS - 1_277 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Viruserkrankung
Eine Viruserkrankung breitet sich sehr schnell aus. Die Anzahl der Infizierten verdoppelt sich alle vier Tage.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, durch welchen Funktionstyp ein derartiges Wachstum beschrieben werden kann, und begründen Sie Ihre Antwort!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Obwohl für die Beantwortung der Frage nicht erforderlich bestimmen wir die zugehörige Exponentialfunktion wie folgt:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N\left( {t = 4} \right) = {N_0} \cdot {a^4} = 2 \cdot {N_0}\,\,\,\,\,\left| {:{N_0}} \right. \cr & {a^4} = 2 \cr & a = \root 4 \of 2 = 1,1892 \cr & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {1,1892^t} \cr}\)
Lösungsweg
Wir können den Funktionsverlauf wie folgt skizzieren:
Wertetabelle
Tag (+4) | Infizierte (mal 2 bzw 200%) |
0 | 1 |
4 | 2 |
8 | 4 |
12 | 8 |
Graph:
Schlussfolgerung:
Ein solches Wachstum kann durch eine Exponentialfunktion vom Typ \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}\) beschrieben werden, da die Anzahl der Infizierten N(t) in gleichen Zeitabständen (+4 Tage) um denselben Faktor a zunimmt bzw. die relative Änderungsrate der Infizierten (200%) konstant ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Ein solches Wachstum kann durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden, da die Anzahl der Infizierten in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor zunimmt bzw. die relative Änderungsrate der Infizierten konstant ist.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die Antwort sinngemäß der oben angegebenen Lösungserwartung entspricht.