Aufgabe 1278
AHS - 1_278 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsprozesse
Zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen aus der Natur bzw. dem Alltag können oft Exponentialfunktionen herangezogen werden.
- Aussage 1: Ein Sparbuch hat eine Laufzeit von 6 Monaten. Eine Spareinlage wird mit 1,5 % effektiven Zinsen pro Jahr, also 0,125 % pro Monat, verzinst. Diese werden ihm allerdings erst nach dem Ende des Veranlagungszeitraums gutgeschrieben. [Modell für das Kapitalwachstum in diesem halben Jahr]
- Aussage 2: Festverzinsliche Anleihen garantieren einen fixen Ertrag von effektiv 6 % pro Jahr. Allerdings muss der angelegte Betrag 5 Jahre gebunden bleiben. [Modell für das Kapitalwachstum über diese 5 Jahre]
- Aussage 3: Haare wachsen pro Tag ca. 1/3 mm. [Modell für das Haarwachstum]
- Aussage 4: Milchsäurebakterien vermehren sich an heißen Tagen abhängig von der Außentemperatur um 5 % pro Stunde. [Modell für die Vermehrung der Milchsäurebakterien]
- Aussage 5: Die Sonneneinstrahlung auf einen Körper wird stärker, je höher die Sonne über den Horizont steigt. [Modell für die Steigerung der Sonneneinstrahlung abhängig vom Winkel des Sonneneinfalls (zur Horizontalen gemessen)]
Aufgabenstellung
Welche der nachstehend angeführten Fallbeispiele werden am besten durch eine Exponentialfunktion modelliert? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Beispiele an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Exponentielles Wachstum \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}\) bedeutet, dass
- ein Startwert N0
- um einen prozentuellen / relativen Anteil a
- pro Zeiteinheit \(\Delta t\)
anwächst.
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Zinsen nicht pro Zeiteinheit (1 Monat) sondern erst am Ende der 6 Monate gutgeschrieben werden.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil die Zinsen pro Zeiteinheit (1 Jahr) gutgeschrieben werden. Es liegt also eine Exponentialfunktion vor.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil 1/3 mm ein absoluter und kein relativer / prozentueller Wert ist und somit keine exponentielles Wachstum vorliegt
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil sich die Bakterien um 5% pro Zeiteinheit (1 Stunde) vermehren. Es liegt also eine Exponentialfunktion vor.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil
- die Sonneneinstrahlung 0 ist, wenn die Sonne am Horizont aufgeht (Einfallswinkel = 90°)
- die Sonneneinstrahlung 1 ist, wenn die Sonne im Zenit steht (Einfallswinkel = 0°).
Das entspricht dem Cosinus vom Einfallswinkel: cos(90)=0; cos(0)=1
Einfallswinkel = Winkel zwischem Lotrechter und der Sonne
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Fallbeispiele angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.