Aufgabe 1279
AHS - 1_279 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zerfallsprozess
Die Population P einer vom Aussterben bedrohten Tierart sinkt jedes Jahr um ein Drittel der Population des vorangegangenen Jahres. P0 gibt die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Tiere an.
- Aussage 1: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
- Aussage 2: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}\)
- Aussage 3: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3} \cdot t} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( t \right) = \dfrac{{{P_0}}}{{3 \cdot t}}\)
- Aussage 5: \(P\left( t \right) = \dfrac{{2 \cdot {P_0}}}{3} \cdot t\)
- Aussage 6: \(P\left( t \right) = {\left( {{P_0} - \dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
Aufgabenstellung
Welche der obenstehend angeführten Gleichungen beschreibt die Population P in Abhängigkeit von der Anzahl der abgelaufenen Jahre t? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Exponentieller Zerfall \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}\) bedeutet, dass
- ein Startwert N0
- um einen prozentuellen / relativen Anteil a mit 0<a<1
- pro Zeiteinheit \(\Delta t\)
absinkt.
Damit das Wachstum um 1/3 absinkt, muss für a wie folgt gelten: \(a = \left( {100\% - 33,33\% } \right) = 66,66\% \buildrel \wedge \over = \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{2}{3}\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil dies einer Abnahme um 2/3 entspricht.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil dies einer Abnahme um 1/3 entspricht
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil dies nicht der Gleichung einer Exponentialfunktion sondern einer linearen Funktion entspricht
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil dies nicht der Gleichung einer Exponentialfunktion sondern einer indirekt proportionalen Funktion entspricht. Das ist eine Potenzfunktion mit negativem Exponent.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil dies nicht der Gleichung einer Exponentialfunktion sondern einer linearen Funktion entspricht
- Aussage 6: Diese Aussage ist falsch, weil dies zwar der Gleichung einer Exponentialfunktion entspricht, diese aber nicht den exponentiellen Zerfall, von der Startpopulation P0, ausgehend modelliert.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau eine Gleichung angekreuzt ist und das Kreuz richtig gesetzt ist.