Aufgabe 1322
AHS - 1_322 & Lehrstoff: FA 1.8
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Drehkegel
Das Volumen eines Drehkegels kann durch eine Funktion V in Abhängigkeit vom Radius r und von der Hohe h folgendermaßen angegeben werden: \(V\left( {r,h} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot {r^2} \cdot \pi \cdot h\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Das Volumen V(r, h) bleibt unverändert, wenn der Radius r _____1_____ wird und die Hohe h _____2_____ wird.
1 | |
verdoppelt | A |
halbiert | B |
vervierfacht | C |
2 | |
verdoppelt | I |
halbiert | II |
vervierfacht | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir könnten jeweils in A, B und C die drei Fälle I, II und III einsetzen und durchrechnen. Das wären 9 Rechnungen. Einfacher ist es sich zunächst auszurechnen, wie sich das Volumen verändert, wenn man den Radius gemäß A, B und C variiert, um sich anschließend zu überlegen mit welcher Höhe h man "dagegenhalten" muss um wieder das ursprüngliche Volumen zu erhalten. So kommt man mit 3 Rechnungen aus.
Lösungsweg
Um die weiteren Betrachtungen zu vereinfachen, fassen wir alle Konstanten in der einen neuen Konstanten "c" zusammen:
\(V\left( {r,h} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot {r^2} \cdot \pi \cdot h = \dfrac{\pi }{3} \cdot {r^2} \cdot h = c \cdot {r^2} \cdot h\)
Wir rechnen zunächst einmal aus, wie sich das Volumen ändert, wenn wir den Radius r verdoppeln / halbieren / vervierfachen:
\(\eqalign{ & A:\,\,V\left( {2r,h} \right) = c \cdot {\left( {2r} \right)^2} \cdot h = 4 \cdot c \cdot {r^2} \cdot h = 4 \cdot V(r,h) \cr & B:\,\,V\left( {\dfrac{r}{2},h} \right) = c \cdot {\left( {\dfrac{r}{2}} \right)^2} \cdot h = c \cdot \dfrac{{{r^2}}}{4} \cdot h = \dfrac{1}{4} \cdot V(r,h) \cr & C:\,\,V\left( {4r,h} \right) = c \cdot {\left( {4r} \right)^2} \cdot h = 16 \cdot c \cdot {r^2} \cdot h = 16 \cdot V\left( {r,h} \right) \cr} \)
Wir untersuchen nun die Frage, wie sich für A, B und C neben r nunmehr h verändern muss, damit auf der rechten Seite der Gleichung wieder der ursprüngliche Wert V(r,h) steht.
- A: h müßte auf ein Viertel sinken, um den Vierer vor V(r,h) auf "1! zu kompensieren - Diese Option gibt es aber nicht
- B: h müßte vervierfachen, um den Faktor 1/4 vor V(r,h) auf "1" zu kompensieren - Das entspricht der Option II
- C: h müßten auf ein Sechzehntel sinken, um den Sechzehner vor V(r,h) auf "1! zu kompensieren - Diese Option gibt es aber nicht
Wir machnen noch die Probe:
\(B:\,\,V\left( {\dfrac{r}{2},4h} \right) = c \cdot {\left( {\dfrac{r}{2}} \right)^2} \cdot 4 \cdot h = c \cdot \dfrac{{{r^2}}}{4} \cdot 4 \cdot h = c \cdot {r^2} \cdot h = V\left( {r,h} \right)\)
Das Volumen V(r, h) bleibt unverändert, wenn der Radius r halbiert wird und die Hohe h vervierfacht wird.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Das Volumen V(r, h) bleibt unverändert, wenn der Radius r halbiert wird und die Hohe h vervierfacht wird.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.