Aufgabe 1486
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kosten, Erlös und Gewinn
Die Funktion E beschreibt den Erlös (in €) beim Absatz von x Mengeneinheiten eines Produkts. Die Funktion G beschreibt den dabei erzielten Gewinn in €. Dieser ist definiert als Differenz „Erlös – Kosten“.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die nachstehende Abbildung durch den Graphen der zugehörigen Kostenfunktion K! Nehmen Sie dabei K als linear an! (Die Lösung der Aufgabe beruht auf der Annahme, dass alle produzierten Mengeneinheiten des Produkts verkauft werden.)
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Kostenfunktion K: Die Kostenfunktion gibt an, wie sich die Gesamtkosten bei einer Veränderung der produzierten Stückzahl verändert. Man unterscheidet dabei in Fixkosten, die auch dann anfallen, wenn nichts produziert wird (z.B. Kosten für die leer stehende Fabrikhalle) und in variable Kosten, die nur dann anfallen, wenn auch tatsächlich etwas produziert wird (z.B.: Rohstoffkosten) \(K = {K_{{\text{Fix}}}} + {K_{{\text{Varialbel}}}}\)
Erlösfunktion E: Die Erlösfunktion gibt an, wie sich die Einnahmen (der Umsatz) in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl verändert.
Gewinnfunktion G: Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus der Erlösfunktion und der Kostenfunktion (G(x)=E(x)-K(x) bzw. Gewinn = Einnahmen minus Ausgaben)
Lösungsweg
Aus der Angabe, dass G(x)=E(x)-K(x) folgt: K(x)=E(x)-G(x)
Der Graph der Gewinnfunktion schneidet an den 2 Stellen x1 und x2 die x-Achse und ist an diesen beiden Stellen daher Null. Für die Kostenfunktion bedeutet dass, dass an der Stelle x1wie folgt gilt: K(x1)=E(x1) und dass an der Stelle x2 gilt: K(x2)=E(x2);
Wir haben damit 2 Punkte der gesuchten Kostenfunktion. Diese zwei Punkte sind bereits hinreichend um die Kostenfunktion zu zeichnen, denn diese ist laut Angebe als linear anzunehmen, also geometrisch eine Gerade durch die beiden Punkte K(x1)=E(x1) und K(x2)=E(x2).
Nicht gefragt, aber leicht ablesbar, dort wo die Kostengerade die y-Achse schneidet, kann man die Fixkosten ablesen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn der Graph einer linearen Kostenfunktion skizziert wurde und dieser den Graphen der Erlösfunktion E an den Stellen x1 und x2 schneidet.