Aufgabe 1559
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zylindervolumen
Bei einem Drehzylinder wird der Radius des Grundkreises mit r und die Höhe des Zylinders mit h bezeichnet. Ist die Höhe des Zylinders konstant, dann beschreibt die Funktion V mit \(V\left( r \right) = {r^2} \cdot \pi \cdot h\) die Abhängigkeit des Zylindervolumens vom Radius.
Aufgabenstellung
Im nachstehenden Koordinatensystem ist der Punkt \(P = \left( {{r_1}\left| {V\left( {{r_1}} \right)} \right.} \right)\) eingezeichnet. Ergänzen Sie in diesem Koordinatensystem den Punkt \(Q = \left( {3 \cdot {r_1}\left| {V\left( {3 \cdot {r_1}} \right)} \right.} \right)\)
Lösungsweg
Wir müssen untersuchen, wie sich das Volumen ändert, wenn sich der Radius verdreifacht.
\(\eqalign{ & P({r_1}\left| {V({r_1}))} \right. \cr & \cr & V({r_1}) = {r_1}^2 \cdot \pi \cdot h \cr & V(3 \cdot {r_1}) = {\left( {3 \cdot {r_1}} \right)^2} \cdot \pi \cdot h = 9 \cdot {r_1}^2 \cdot \pi \cdot h = 9 \cdot V\left( {{r_1}} \right) \cr & \cr & Q(3 \cdot {r_1}\left| {9 \cdot V\left( {{r_1}} \right)} \right.) \cr} \)
Der Punkt Q muss also
- 3-mal soweit rechts sein als der Punkt P
- 9-mal so hoch sein als der Punkt P
Achtung, beim Eintragen der Koordinaten von Q:
- r1=2 Einheiten ⇒ 3r1=6 Einheiten
- V(r1)=1 Einheit ⇒ 9V(r1)=9 Einheiten
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Ergänzung von Q.