Aufgabe 1768
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Anzahl von Tieren
Man nimmt an, dass sich die Anzahl der Tiere einer bestimmten Tierart auf der Erde um 1,8 % pro Jahr erhöht.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige Zeitdauer in Jahren, innerhalb der sich die Anzahl der Tiere dieser Tierart auf der Erde verdoppelt.
Zeitdauer: ca. Jahre
Lösungsweg
Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt x in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentuell) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t).
Im (absoluten) Zeitraum von 1 Jahr erfolgt ein prozentueller Zuwachs von 100% um 1,8% auf \(101,8\% \buildrel \wedge \over = 1,018\)
- Pro Jahr: +1,8% → 1,018
- N0 kennen wir nicht, das macht aber nichts, wir wollen ja wissen, nach wie vielen Jahren es \(2 \cdot {N_0}\) Tiere gibt.
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {1,018^t} \cr & {\text{Zeit bis zur Verdoppelung:}} \cr & 2 \cdot {N_0} = {N_0} \cdot {1,018^t}\,\,\,\,\,\left| {:{N_0}} \right. \cr & 2 = {1,018^t} \cr} \)
Die Unbekannte N0 hat sich weggekürzt, somit können wir die einzige Variable t wie folgt ausrechnen:
\(\eqalign{ & {1,018^n} = 2\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & t \cdot \ln \left( {1,018} \right) = \ln \left( 2 \right) \cr & t = \dfrac{{\ln \left( 2 \right)}}{{\ln \left( {1.018} \right)}} \approx 38,8537 \approx 39 \cr} \)
→ Die Zeitdauer für die Verdoppelung beträgt ca. 39 Jahre.
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Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Die Zeitdauer für die Verdoppelung beträgt ca. 39 Jahre
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.